[論文レビュー] On semilinear Tricomi equations in one space dimension

Daoyin He, Ingo Witt+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元半線形Tricomi方程式 $ \partial_t^2 u - t \partial_x^2 u = |u|^p $ に対して臨界指数 $ p_{\text{crit}} = 5 $ を確立し、$ p > 5 $ のとき小データ弱解が大域的に存在すること、$ 1 < p < 5 $ のとき有限時間 blowup が発生することを証明する。解析の根幹は、$ \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $ で定義される特徴的領域におけるエネルギー推定と、ベッセル関数に基づくテスト関数を用いて導出された、線形退化方程式に対する新しい重み付きStrichartz型不等式にかかっている。

ABSTRACT

For 1-D semilinear Tricomi equation $\partial_t^2 u-t\partial_x^2u=|u|^p$ with initial data $(u(0,x), \partial_t u(0,x))$ $=(u_0(x), u_1(x))$, where $t\ge 0$, $x\in\mathbb{R}$, $p&gt;1$, and $u_i\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ ($i=0,1$), we shall prove that there exists a critical exponent $p_{ m crit}=5$ such that the small data weak solution $u$ exists globally when $p&gt;p_{ m crit}$; on the other hand, the weak solution $u$, in general, blows up in finite time when $11$. By this paper and \cite{HWYin1}-\cite{HWYin3}, we have given a systematic study on the blowup or global existence of small data solution $u$ to the equation $\partial_t^2 u-tΔu=|u|^p$ for all space dimensions. One of the main ingredients in the paper is to establish a crucial weighted Strichartz-type inequality for 1-D linear degenerate equation $\partial_t^2 w-t\partial_x^2 w=F(t,x)$ with $(w(0,x), \partial_t w(0,x))=(0,0)$, i.e., an inequality with the weight $(\frac{4}{9}t^3-|x|^2)^α$ between the solution $w$ and the function $F$ is derived for some real numbers $α$.

研究の動機と目的

• 1次元半線形Tricomi方程式の小データ弱解の大域的存在性と有限時間blowupの臨界指数 $ p_{\text{crit}} $ を特定すること。
• 解の減衰を制御するため、重み $ \left(\frac{4}{9}t^3 - |x|^2\right)^\alpha $ を持つ線形退化方程式 $ \partial_t^2 w - t \partial_x^2 w = F $ に対して重み付きStrichartz型不等式を確立すること。
• 伝播速度の有限性と特徴的幾何学を活用して、$ |x| \leq \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $ の領域における解の挙動を分析すること。
• $ 1 < p < 5 $ のとき、修正ベッセル関数に基づくテスト関数と $ L^p $-ノルムに関するエネルギー型推定を用いてblowupを証明すること。
• 1次元波動方程式（$ p > 1 $ で常にblowup）と比較し、係数 $ t $ の退化が解の安定化に寄与することを強調すること。

提案手法

• 初期データがゼロである線形Tricomi方程式 $ \partial_t^2 w - t \partial_x^2 w = F $ に対して、重み $ \left(\frac{4}{9}t^3 - |x|^2\right)^\alpha $（$ \alpha \in \mathbb{R} $）を用いた重み付きStrichartz推定を導出し、解ノルムを制御すること。
• テスト関数 $ \psi(t,x) = \lambda(t) \varphi(x) $ を構成し、$ \lambda(t) \sim t^{-1/4} e^{-\phi(t)} $（$ \phi(t) = \frac{2}{3}t^{3/2} $）および $ \varphi(x) = e^x $ とする。これは修正ベッセル関数 $ K_{1/3} $ に基づく。
• 汎函数 $ G_1(t) = \int_{\mathbb{R}} u(t,x) \psi(t,x) \, dx $ を定義し、$ K_{1/3} $ の漸近的性質を用いて、$ t \to \infty $ のとき $ G_1(t) \geq C t^{-1/2} $ の下界を得ること。
• Gagliardo–Nirenberg型不等式における分母 $ \left| G_1(t) \right|^p / \left( \int \psi^{p/(p-1)} \right)^{p-1} $ の推定を行い、$ t^{-p/4} $ 以下に成長することを示すこと。
• 補題5.1を適用して、$ G(t) = \int |u(t,x)|^p \, dx $ が $ G''(t) \geq c t^{-p/4} $ を満たすことを示し、$ p < 5 $ のときblowupを導く。これは $ (p-1)\alpha \geq q - 2 $ かつ $ q = \frac{3}{2}(p-1) $ の条件を満たすことで確認される。
• 有限伝播速度を用いて、$ u(t, \cdot) $ の台を $ (-M - \phi(t), M + \phi(t)) $ の範囲に局在化させ、部分積分と減衰推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元半線形Tricomi方程式 $ \partial_t^2 u - t \partial_x^2 u = |u|^p $ の小データ弱解の大域的存在のための臨界指数 $ p_{\text{crit}} $ は何か？
• RQ2 空間微分作用素における係数 $ t $ の退化が、標準的波動方程式と比較して解の寿命および減衰性に与える影響は何か？
• RQ3 特徴的領域 $ \frac{4}{9}t^3 - |x|^2 $ に依存する重みを備えた線形Tricomi方程式に対して、重み付きStrichartz型不等式を確立できるか？
• RQ4 修正ベッセル関数 $ K_{1/3} $ は、有限時間blowupを証明するための適切なテスト関数を構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 なぜ1次元Tricomi方程式では $ p > 5 $ のとき大域的解が存在するのに対し、1次元波動方程式ではすべての $ p > 1 $ でblowupが発生するのか？

主な発見

• 1次元半線形Tricomi方程式の臨界指数は $ p_{\text{crit}} = 5 $ であり、小データ弱解が大域的に存在するのは $ p > 5 $ のときのみである。
• $ p > 5 $ のとき、ある $ \varepsilon_0 > 0 $ が存在し、すべての $ 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_0 $ に対して、解 $ u $ が重み付き可積分性条件 $ \left(1 + |\phi^2(t) - |x|^2|\right)^\gamma u \in L^{p+1}(\mathbb{R}^{1+1}_+) $ を満たす。ここで $ 0 < \gamma < \frac{1}{6} - \frac{5}{6(p+1)} $ である。
• $ 1 < p < 5 $ のとき、非負で非自明な初期データのもとでは、$ C([0,\infty), H^1(\mathbb{R})) \cap C^1([0,\infty), L^2(\mathbb{R})) $ 内に大域的弱解は存在せず、解は有限時間でblowupする。
• blowupの証明は、修正ベッセル関数 $ K_{1/3} $ に基づくテスト関数 $ \psi(t,x) = \lambda(t) e^x $（$ \lambda(t) \sim t^{-1/4} e^{-\phi(t)} $）を用いて、$ u $ の $ L^p $-ノルムの下界を導くことに依存している。
• $ G''(t) \geq c t^{-p/4} $ の推定は、$ p < 5 $ のときblowupを導く。これは $ (p-1)\alpha \geq q - 2 $ かつ $ q = \frac{3}{2}(p-1) $ の条件が $ p \geq 5 $ のとき満たされず、$ p < 5 $ のとき満たされるためである。
• 本手法により、Tricomi作用素の退化が波動方程式と比較してblowupを遅らせることが明らかになった。これは特徴的幾何学と重み付きStrichartz推定による改善された減衰性に起因する。