[論文レビュー] On Semirational Singularities

Jeremy Berquist|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$G_1$、$S_2$、および準正規性を満たす非正規代数多様体に対して半解像を導入し、半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消失定理を確立し、半有理的特異点が半解像の選択に依存しないことを証明する。正規多様体に対する解像の代わりに半解像を用いることで、非正規設定への双有理的分類道具を拡張し、半有理的特異点がコhen-Macaulay的かつ Du Bois であることを示す。

ABSTRACT

We study semiresolutions of quasi-projective varieties with properties $G_1$, $S_2$, and seminormality. Equivalently, these are varieties $X$ with Serre's $S_2$ property, such that there exists an open subvariety $U$, with complement of codimension at least two, such that the only singularities of $U$ are (analytically) double normal crossings. Such varieties have been called "demi-normal" by Kollár \cite{Kol13}. First, we discuss why these properties are ideal for the study of nonnormal varieties that appear in the birational classification of varieties. We define semiresolutions and provide examples to illustrate the procedure of gluing along the conductor as the fundamental tool in obtaining a semiresolution of $X$ from a resolution of its normalization. As an application of these methods, we discuss semirational singularities. Our main results are a semismooth Grauert-Riemenschneider vanishing theorem (Theorem 4.2) and a proof that the definition of semirational singularities does not depend on the semiresolution chosen (Theorem 4.3) . The smooth version of (4.2) first appeared in \cite{GR70}. We also explain why semirational singularities are, in particular, Cohen-Macaulay and DuBois. Finally, we discuss the role semiresolutions play in forming a nonnormal interpretation of the results of de Fernex and Hacon in \cite{dFH09}, where the $\mathbb{Q}$-Cartier hypothesis was found to be extraneous in the birational classification of normal varieties.

研究の動機と目的

• 正規多様体に対する解像の類似物として半解像を導入することにより、非正規多様体の双有理的分類枠組みを構築すること。
• 正規性、$G_1$、$S_2$、および準正規性を満たす多様体の文脈において、半有理的特異点を定義し、有理的特異点からの概念の拡張を試みること。
• 半有理的特異点の定義が半解像の選択に依存しないことの証明により、分類の一貫性を保証すること。
• 半解像に対して、半滑らかなバージョンの Grauert-Riemenschneider の消失定理を確立すること。
• 半有理的特異点がコhen-Macaulay的かつ Du Bois であることを示し、それらをより深いコhomオロジカル的および特異点理論的性質と結びつけること。

提案手法

• 半解像を、$Y$ が半滑らかで、$f: Y \to X$ が固有かつ双有理的で、$U \to X$ が開部分多様体で $\text{codim}(X \setminus U) \geq 2$ を満たすような、$f: Y \to X$ として定義する。
• 導来イデアルと導来に沿った貼り合わせを、正規化の解像から半解像を構成するための基本的手段として用いる。
• 半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消失定理を適用する：$R^i f_* \tilde{\theta}_Y = 0$（$i > 0$）で、$\tilde{\theta}_Y$ は $Y$ 上の双対化層である。
• 半解像 $g: Y \to X$ に対して、$R^i g_* \mathcal{O}_Y = 0$（$i > 0$）の消失により、半有理的特異点を特徴付ける。
• 半滑らか多様体が Du Bois 特異点をもつことと、準同型 $\mathcal{O}_X \cong_{qis} Rf_* \mathcal{O}_Y$ が $X$ が Du Bois 特異点をもつことを示すことで、半有理的特異点がコhen-Macaulay的かつ Du Bois であることを証明する。
• de Fernex と Hacon の非 $\mathbb{Q}$-Gorenstein正規多様体に関する結果を、解像の代わりに半解像を用いることで、非正規多様体へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正規多様体の双有理的分類理論は、解像の代わりに半解像を用いて構築可能か？
• RQ2 半有理的特異点の定義は、半解像の選択に依存しないか？
• RQ3 正規性、$G_1$、$S_2$、および準正規性を満たす多様体に対して、半滑らかなバージョンの Grauert-Riemenschneider の消失定理が成り立つか？
• RQ4 半有理的特異点は必然的にコhen-Macaulay的かつ Du Bois か？
• RQ5 非正規多様体の双有理的分類において、$\mathbb{Q}$-Gorenstein仮定を半解像を用いて取り除けるか？

主な発見

• 半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消失定理（定理 4.2）が成り立つ：$G_1$、$S_2$、および準正規性を満たす多様体の半解像 $f: Y \to X$ に対して、$i > 0$ で $R^i f_* \tilde{\theta}_Y = 0$ である。
• 半有理的特異点の定義は半解像の選択に依存しない（定理 4.3）ため、分類の一貫性が保証される。
• 半有理的特異点はコhen-Macaulay的である。これは、$i > 0$ で $R^i g_* \mathcal{O}_Y = 0$ を満たし、半解像を用いて定義されるからである。
• 半有理的特異点は Du Bois である。なぜなら、半滑らか多様体は Du Bois 特異点をもち、かつ準同型 $\mathcal{O}_X \cong_{qis} Rf_* \mathcal{O}_Y$ が $X$ が Du Bois 特異点をもつことを示すからである。
• de Fernex と Hacon の非 $\mathbb{Q}$-Gorenstein正規多様体に関する結果は、半解像を用いることで非正規多様体へと拡張され、$\mathbb{Q}$-Gorenstein仮定の必要性が排除される。
• 半有理的特異点を持たない $G_1$、$S_2$、準正規な非正規多様体が存在する。例えば、通常埋め込みされたアーベル曲面の錐は、頂点でコhen-Macaulay的でない。