[論文レビュー] On semisimplification of tensor categories

Pavel Etingof, Victor Ostrik|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、滑らかでない射を商することで単純なカテゴリを導く構成を導入し、テンソルカテゴリの半単純化の理論を展開する。有限群の表現カテゴリの半単純化を、そのSylow p-部分群の正規化子を用いて正体し、対称群 $S_{n+p}$ およびDeligneのカテゴリ $ύb{ m Rep}^{ m ab}S_t$ に応用する。また、特に対数2における量子群およびティルティングカテゴリの半単純化を同定する。

ABSTRACT

We develop the theory of semisimplifications of tensor categories defined by Barrett and Westbury. In particular, we compute the semisimplification of the category of representations of a finite group in characteristic $p$ in terms of representations of the normnalizer of its Sylow $p$-subgroup. This allows us to compute the semisimplification of the representation category of the symmetric group $S_{n+p}$ in characteristic $p$, where $0\le n\le p-1$, and of the Deligne category $\underline{ m Rep}^{ m ab}S_t$, where $t\in \Bbb N$. We also compute the semisimplification of the category of representations of the Kac-De Concini quantum group of the Borel subalgebra of $\mathfrak{sl}_2$. We also study tensor functors between Verlinde categories of semisimple algebraic groups arising from the semisimplification construction, and objects of finite type in categories of modular representations of finite groups (i.e., objects generating a fusion category in the semisimplification). Finally, we determine the semisimplifications of the tilting categories of $GL(n)$, $SL(n)$ and $PGL(n)$ in characteristic $2$. In the appendix, we classify categorifications of the Grothendieck ring of representations of $SO(3)$ and its truncations.

研究の動機と目的

• 正の特徴関数における半単純化の一般的枠組みを構築すること。
• 有限群 $G$ の $ύb{ m Rep}(G)$ の半単純化を、Sylow $p$-部分群の正規化子を用いて計算すること。
• 自然数 $t$ に対して、Deligneのアーベル的包絡カテゴリ $ύb{ m Rep}^{ m ab}S_t$ の半単純化を同定すること。
• 特に $ύb{sl}_2$ の $U_q(\mathfrak{b})$ における量子群の半単純化を、一般および根の単位の場合に分析すること。
• 半単純化されたモジュラー表現カテゴリにおける有限型の対象を分類し、それらが生成する融合部分カテゴリを同定すること。

提案手法

• 滑らかでない射のテンソルアイデアルによる商を用いた、Barrett-Westburyによる半単純化の構成を用いる。
• Green対応とモジュラー表現理論を用いて、Sylow $p$-部分群 $P$ に対して $ύb{ m Rep}(G)$ と $ύb{ m Rep}(N_G(P))$ を関連付ける。
• HarmanのDeligneカテゴリに関する結果を活用し、$ύb{ m Rep}^{\rm ab}S_t$ の半単純化を計算する。
• 既知の表現論的道具を用いて、特徴関数2における $GL(n)$、$SL(n)$、$PGL(n)$ のティルティングカテゴリの構造を分析する。
• カテゴリフィケーション技術とGrothendieck環の分類を用いて、$ύb{ m Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$ に同値な融合カテゴリを同定する。
• 一般化されたJacobson-Morozov補題と、等変化および全射テンソル関手との整合性結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 $G$ の特徴関数 $p$ における $ύb{ m Rep}(G)$ の半単純化は、そのSylow $p$-部分群の正規化子を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 自然数 $t$ に対して、Deligneカテゴリ $ύb{ m Rep}^{\rm ab}S_t$ の半単純化は何か？
• RQ3 $ύb{sl}_2$ のKac-De Concini量子群 $U_q(\mathfrak{b})$ の表現カテゴリの半単純化は何か？
• RQ4 半単純化されたモジュラー群表現カテゴリにおけるどの対象が融合部分カテゴリを生成するか？
• RQ5 特徴関数2における $GL(n)$、$SL(n)$、$PGL(n)$ のティルティングカテゴリの半単純化は何か？

主な発見

• 有限群 $G$ の特徴関数 $p$ における $ύb{ m Rep}(G)$ の半単純化は、Sylow $p$-部分群の正規化子のそれと同値である。
• 群 $G = S_{n+p}$ で $0 \leq n < p$ のとき、$ύb{ m Rep}(G)$ の半単純化はSylow $p$-部分群の正規化子を用いて明示的に計算できる。
• 自然数 $t$ に対して、$ύb{ m Rep}^{\rm ab}S_t$ の半単純化は、上記の結果とHarmanの研究を組み合わせることで同定される。
• $ύb{sl}_2$ の $U_q(\mathfrak{b})$ の表現カテゴリの半単純化は、一般および根の単位の場合に両方計算されている。
• 特徴関数2における $GL(n)$、$SL(n)$、$PGL(n)$ のティルティングカテゴリの半単純化は、完全に同定されている。
• 付録では、$SO(3)$ のGrothendieck環およびその切断のすべてのカテゴリフィケーションが分類されており、適切な根の単位 $ύb{q}$ に対して $ύb{ m Rep}(SO(3)_{\mathbb{q}})$ に同値であることが示されている。