[論文レビュー] On Separating Points for Ensemble Controllability

Jr-Shin Li, Wei Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分離点と多項式近似を用いて、時間不変線形系のアンサンブル可制御性を分析する統一的枠組みを導入する。アンサンブル可制御性グラミアンと呼ばれる一般化された可制御性行列を提案し、再パラメータ化下での個々のシステムの可制御性を評価することにより、可制御性の必要十分条件を提示する。これにより、無限次元制御問題に対する有限次元的アプローチが可能となる。

ABSTRACT

Recent years have witnessed a wave of research activities in systems science toward the study of population systems. The driving force behind this shift was geared by numerous emerging and ever-changing technologies in life and physical sciences and engineering, from neuroscience, biology, and quantum physics to robotics, where many control-enabled applications involve manipulating a large ensemble of structurally identical dynamic units, or agents. Analyzing fundamental properties of ensemble control systems in turn plays a foundational and critical role in enabling and, further, advancing these applications, and the analysis is largely beyond the capability of classical control techniques. In this paper, we consider an ensemble of time-invariant linear systems evolving on an infinite-dimensional space of continuous functions. We exploit the notion of separating points and techniques of polynomial approximation to develop necessary and sufficient ensemble controllability conditions. In particular, we introduce an extended notion of controllability matrix, called Ensemble Controllability Gramian. This means enables the characterization of ensemble controllability through evaluating controllability of each individual system in the ensemble. As a result, the work provides a unified framework with a systematic procedure for analyzing control systems defined on an infinite-dimensional space by a finite-dimensional approach.

研究の動機と目的

• 時間不変線形系におけるアンサンブル可制御性の明確で統一的な特徴付けの欠如に対処すること。
• 代数的幾何的道具を導入することで、古典的制御理論と無限次元アンサンブル系を橋渡しすること。
• 分離点と多項式近似を用いて、アンサンブル可制御性の検証可能な必要十分条件を構築すること。
• 再パラメータ化アプローチにより、無限次元制御系の有限次元的解析を可能にすること。
• 全アンサンブルにわたる可制御性を体系的に評価するためのツールとして、アンサンブル可制御性グラミアンを導入すること。

提案手法

• 多項式近似理論における分離点の概念を用いて、アンサンブル可制御性を分析する。
• ストーン＝ワイエルシュトラスの定理を適用し、関数空間における稠密な部分代数を特徴づけ、連続関数の近似を保証する。
• 標準的可制御性行列の拡張として、パラメータ化されたシステム族の可制御性を特徴付ける「アンサンブル可制御性グラミアン」を導入する。
• 多次元アンサンブル系を等価な1次元系に写像する再パラメータ化技術を用い、解析を単純化する。
• リー代数の技法と関数解析を活用し、可制御性に及ぼすスペクトル的・構造的要因を研究する。
• 2次元アンサンブル系を1次元アンサンブル系に変換するパラメータ化写像 ψ を構築し、明確に定義されたパラメータ空間 K′ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合上でインデックス付けられた時間不変線形系の族に対して、アンサンブル可制御性を保証する条件は何か？
• RQ2 分離点の概念をどのように体系的に応用することで、アンサンブル可制御性の必要十分条件を導出できるか？
• RQ3 ドリフト行列のスペクトル構造は、アンサンブルの可制御性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 無限次元的性質を有するアンサンブル系を、有限次元的ツールを用いてどのように解析できるか？
• RQ5 再パラメータ化は、多パラメータアンサンブル系の解析を単純化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、分離点と多項式近似を用いて、アンサンブル可制御性の必要十分条件を確立し、統一的で代数的幾何的枠組みを提供する。
• アンサンブル可制御性グラミアンにより、再パラメータ化下での各個々のシステムの可制御性を評価することで、アンサンブル可制御性を特徴付けることが可能になる。
• この枠組みにより、アンサンブル可制御性がドリフトダイナミクスの関数的構造とスペクトル的性質に強く依存することが明らかになった。
• 多次元アンサンブル系を等価な1次元系に写像する再パラメータ化法が開発され、可制御性の性質が保存された。
• ストーン＝ワイエルシュトラスの定理を、コンパクト空間または局所コンパクト空間上での連続関数の均一近似を示す新しい方法で応用した。
• パラメータ化 ψ と関連する写像 φ の構築により、変換後のシステムのダイナミクスが元のアンサンブル系と一致し、同時に有限次元的解析が可能になった。