[論文レビュー] On Serre's reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of the Galois group of Q

Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ における奇数で非可約な2次元 mod $p$ ガロア表現に対して、最小限に分岐する $p$-進被覆の存在を証明し、これらの被覆を用いてセールのモジュラー性予想をモジュラー性上昇定理に還元する。低レベルおよび低重さの状況において、条件なしのモジュラー性を確立し、特に mod 23 の表現がセールの重さ12をもつ Ramanujan $\Delta$-関数から生じることを示す。

ABSTRACT

We first prove the existence of minimally ramified p-adic lifts of 2-dimensional mod p representations, that are odd and irreducible, of the absolute Galois group of Q,in many cases. This is predicted by Serre's conjecture that such representations arise from newforms of optimal level and weight. Using these minimal lifts, and arguments using compatible systems, we prove some cases of Serre's conjectures in low levels and weights. For instance we prove that there are no irreducible (p,p) type group schemes over the rational integers. We prove that a Galois representation as above of Artin conductor 1 and Serre weight 12 arises from the Ramanujan Delta-function. In the last part of the paper we present arguments that reduce Serre's conjecture on modularity of Galois representations as above to proving modularity lifting theorems of the type pioneered by Wiles. While these modularity lifting results are not known as yet they might be relatively accessible because of the basic method of Wiles and Taylor-Wiles and recent developments in the p-adic Langlands programmeinitiated by Breuil.

研究の動機と目的

• 奇数で非可約な2次元 mod $p$ ガロア表現 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ に対して、最小限に分岐する $p$-進被覆の存在を確立すること。
• このような表現に対するセールのモジュラー性予想を、一般化されたモジュラー性上昇定理の証明に還元すること。
• レベル1およびセールの重さ12を含む低レベル・低重さの状況において、セールの予想を条件なしに証明すること。
• 整数環 $\mathbb{Z}$ 上に非可約な $(p,p)$-型の有限平坦群スキームが存在しないことを示すこと。
• モジュラー性上昇定理が、整合的系と基本拡大を組み合わせることで、残余モジュラー性を示すことができることを示し、問題を既知の上昇枠組みに還元すること。

提案手法

• 変形理論と最小変形環に関する有限性結果を用いて、mod $p$ ガロア表現の最小 $p$-進被覆を構成する。
• デ・ジョンおよびボッケレの手法にインspされ、基本拡大技術を適用して、最小変形環が有限で、平坦な完全交差であることを示し、最小被覆の存在を保証する。
• ガロア表現の厳密に整合的な系を用いて、モジュラー性を1つの素数から別の素数へと伝播させ、分岐する素数に関する帰納法を可能にする。
• 円分的ねじれと整合的系の存在を活用して分岐度を減らし、導手を単純化し、帰納的にレベル1の状況に還元する。
• フォンテーヌ、ブルーマー、クラマー、スフークの群スキームおよびモジュラー形式に関する結果を用いて、低レベル状況におけるモジュラー性を証明する。
• R = T 定理と最近の $p$-進ラングランズプログラムの発展（例：ブリュア、キシン）を用いて、重さ2から $p+1$ までのモジュラー性上昇定理が、広い範囲の状況でセールの予想を示すことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数で非可約な2次元 mod $p$ ガロア表現 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ に対して、最小限に分岐する $p$-進被覆を構成できるか。
• RQ2 セールのモジュラー性予想は、整合的系に対するモジュラー性上昇定理にどの程度まで還元可能か。
• RQ3 レベル1およびセールの重さ12を含む低レベル・低重さの状況において、セールの予想を条件なしに証明できるか。
• RQ4 整数環 $\mathbb{Z}$ 上に非可約な $(p,p)$-型の有限平坦群スキームが存在するか。その存在はモジュラー性にどのような意味を持つのか。
• RQ5 整合的系の手法を用いて、分岐を帰納的に除去し、一般の場合をレベル1の状況に還元できるか。

主な発見

• 奇数で非可約な2次元 mod $p$ ガロア表現 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ に対して、最小限に分岐する $p$-進被覆の存在が確立された。
• 整数環 $\mathbb{Z}$ 上に非可約な $(p,p)$-型の有限平坦群スキームが存在しないことが、条件なしに証明された。
• セールの重さ12、レベル1の mod $p$ ガロア表現は、スフークの結果を用いて Ramanujan $\Delta$-関数から生じることが示された。
• セールの予想は、モジュラー性上昇定理に還元された：$p > 3$ に対して、奇数で平方自由な導手（3と互いに素）かつセールの重さ $k \leq p+1$ または $k \leq q_1 + 1$（$q_1$ は最初の分岐素数）である非可約 mod $p$ 表現は、上昇定理が成立すればモジュラーである。
• セールの予想のレベル1の場合、重さ2から $p+1$ の半安定表現に対するモジュラー性上昇定理に還元された。
• 本論文は、モジュラー性上昇定理が、残余モジュラー性を仮定しても、多くの場合に残余モジュラー性を示すことができることを示し、モジュラー性の論理において驚くべき双対性が存在することを強調した。