[論文レビュー] On sets defining few ordinary lines

Ben Green, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$ n $ 個の点がすべて同一直線上にない平面におけるDirac-Motzkin予想を解決し、十分大きな $ n $ に対して、それらの点が少なくとも $ n/2 $ 本の普通の直線（ちょうど2つの点を通る直線）を定めることが証明された。また、普通の直線が少ない点集合はほとんど完全に三次曲線に含まれることを示す構造定理を確立し、これを用いてアーバンプランティング問題（orchard-planting problem）を解き、十分大きな $ n $ に対して3-rich直線（ちょうど3つの点を通る直線）の最大数が $ \lfloor n(n-3)/6 \rfloor + 1 $ であることを証明した。結果は鋭く、すべての極値的配置が分類されている。

ABSTRACT

Let P be a set of n points in the plane, not all on a line. We show that if n is large then there are at least n/2 ordinary lines, that is to say lines passing through exactly two points of P. This confirms, for large n, a conjecture of Dirac and Motzkin. In fact we describe the exact extremisers for this problem, as well as all sets having fewer than n - C ordinary lines for some absolute constant C. We also solve, for large n, the "orchard-planting problem", which asks for the maximum number of lines through exactly 3 points of P. Underlying these results is a structure theorem which states that if P has at most Kn ordinary lines then all but O(K) points of P lie on a cubic curve, if n is sufficiently large depending on K.

研究の動機と目的

• 平面における $ n $ 個の非同一直線上の点が定める普通の直線の最小数に関する長年のDirac-Motzkin予想を解決すること。
• ある絶対定数 $ C $ に対して $ n - C $ 個未満の普通の直線を達成する $ n $ 個の点の配置をすべて分類すること。
• 十分大きな $ n $ に対して、3-rich直線（ちょうど3つの点を通る直線）の最大数を特定することで、アーバンプランティング問題を解くこと。
• 普通の直線が $ O(n) $ 個であるような点集合が、ほとんど完全に三次曲線に含まれることを示す構造定理を確立すること。

提案手法

• MelchiorによるSylvester-Gallai定理の証明にインspiredされた射影双対性とEulerの公式を用いて、直線配置を分析する。
• 点集合に高々 $ Kn $ 個の普通の直線がある場合、十分大きな $ n $ に対して、すべての点のうち $ O(K) $ 個を除いてはすべて三次曲線上にあるという構造定理を適用する。
• 加法的組合せ論および単位根の幾何学的性質を用いて、固定された点を通過する直線の数や、正多角形の頂点対が定める直線の数を評価する。
• 鳩の巣原理と角度に関する線形形式の三角不等式を用いて、原点以外の点が正 $ n $-角形の頂点を結ぶ直線のうち高々 $ O(n^{5/6}) $ 本にのみ含まれることを示す。
• 12乗単位根のゼロ和タプルの分類を活用して、多くの交点を有する配置を制御する。
• 普通の直線と3-rich直線の間の二重数え上げ恒等式を用いて、$ N_2 $ の下界を $ N_3 $ の上界に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分大きな $ n $ に対して、平面における非同一直線上の $ n $ 個の点が定める普通の直線の最小数は何か？
• RQ2 この最小値を達成する配置はどのようなものか？ そして、このような極値的集合の正確な構造は何か？
• RQ3 十分大きな $ n $ に対して、$ n $ 個の点が有する3-rich直線（ちょうど3つの点を通る直線）の最大数は何か？
• RQ4 普通の直線が少ない配置は、特に三次曲線とどのように関係しているか？
• RQ5 普通の直線が $ O(n) $ 個であるような点集合の構造を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 十分大きな $ n $ に対して、平面における非同一直線上の $ n $ 個の点は少なくとも $ n/2 $ 本の普通の直線を定める。これはDirac-Motzkin予想の確認である。
• $ n $ が奇数のとき、普通の直線の最小数は $ 3\lfloor n/4 \rfloor $ 以上であり、これは $ n/2 $ よりも厳密に大きい。
• 偶数 $ n $ に対して $ n/2 $ 個の普通の直線を達成する極値的配置は、$ n/2 $ 個の点が円周上に、残りの $ n/2 $ 個の点が無限遠点に配置された対称的構成である。
• ある絶対定数 $ C $ に対して $ n - C $ 個未満の普通の直線を持つすべての点集合は、$ Kn $ 個の普通の直線に対して $ O(K) $ 個の点を除いてすべて三次曲線上に含まれており、ほとんど完全に三次曲線に含まれる。
• 十分大きな $ n $ に対して、$ n $ 個の点が有する3-rich直線の最大数は $ \lfloor n(n-3)/6 \rfloor + 1 $ であり、この上限は鋭い。
• 十分大きな $ n $ に対して、アーバンプランティング問題における等号を達成する唯一の極値的例は、フェルマーの三次曲線や有理点を持つ楕円曲線から導かれる。