[論文レビュー] On Siegel's problem for E-functions

Stéphane Fischler, Tanguy Rivoal|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、1949年にシーゲルが提起した問題、すなわちすべてのE関数が有理数パラメータをもつ超幾何E関数の多項式として表現可能かどうかを検討する。漸近展開およびG関数とH-環（代数的数、1/π、およびガンマ関数の導関数の値によって生成される環）の性質を用いて、もしシーゲルの問いに肯定的解答があるならば、代数的点におけるG値の環GはHに含まれることを示す。この包含関係は、標準的予想のもとでは極めて不自然であるとされ、一般のE関数に関しては否定的解答が妥当であると考えられる。

ABSTRACT

Siegel defined in 1929 two classes of power series, the E-functions and G-functions, which generalize the Diophantine properties of the exponential and logarithmic functions respectively. In 1949, he asked whether any E-function can be represented as a polynomial with algebraic coefficients in a finite number of hypergeometric E-functions with rational parameters. The case of E-functions of differential order less than 2 was settled in the affirmative by Gorelov in 2004, but Siegel's question is open for higher order. We prove here that if Siegel's question has a positive answer, then the ring G of values taken by analytic continuations of G-functions at algebraic points must be a subring of the relatively "small" ring H generated by algebraic numbers, $1/π$ and the values of the derivatives of the Gamma function at rational points. Because that inclusion seems unlikely (and contradicts standard conjectures), this points towards a negative answer to Siegel's question in general. As intermediate steps, we first prove that any element of G is a coefficient of the asymptotic expansion of a suitable E-function, which completes previous results of ours. We then prove (in two steps) that the coefficients of the asymptotic expansion of an hypergeometric E-function with rational parameters are in H. Finally, we prove a similar result for G-functions.

研究の動機と目的

• すべてのE関数が有理数パラメータをもつ超幾何E関数の多項式として表現可能かどうかを検討すること。
• 代数的点におけるG関数がとる値、すなわちG値の環の代数的構造を調査すること。
• E関数の漸近展開係数と特定の環Hとの関係、特に有理数パラメータをもつ超幾何E関数に対してその関係を確立すること。
• もしシーゲルの問いに肯定的解答があるならば、G関数のG値の環GはHに含まれることを示し、これは標準的予想と矛盾することを示すこと。
• G関数の解析接続の構造と係数環に関する類似の結果を示すことで、分析をG関数へと拡張すること。

提案手法

• G関数のG値の環Gに属する任意の元が、あるE関数の漸近展開の係数として現れることを証明し、先行研究を補完すること。
• 有理数パラメータをもつ任意の超幾何E関数の漸近展開の係数が、代数的数、1/π、および有理数点におけるガンマ関数の導関数の値によって生成される環Hに属することを示すこと。
• 留数計算およびプアッセュ展開を用いて、pFpから一般のpFq(z^{q−p+1})級数（有理数パラメータ）へのH-包含性の結果を一般化すること。
• 特に無限遠点および有限特異点における、G関数のカット平面における解析接続の構造を分析し、その局所展開を検討すること。
• アンドレ、シュードノフスキー、カッツの微分ガロア理論に関する結果を応用し、接続定数およびモノドロミー不変量の算術的性質を制御すること。
• これらの結果を統合し、もしシーゲルの問いに肯定的解答があるならばG ⊆ Hが成立するが、これは標準的予想のもとで極めて不自然であると結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのE関数は、有理数パラメータをもつpFq形式の有限個の超幾何E関数の代数的係数による多項式として表現可能か？
• RQ2 代数的点におけるG関数がとる値の環Gの算術的構造は何か？
• RQ3 G関数のG値の環Gは、代数的数、1/π、および有理数点におけるガンマ関数の導関数の値によって生成される環Hに含まれるか？
• RQ4 E関数およびG関数の漸近展開は、その係数の算術的性質とどのように関係するか？
• RQ5 G ⊆ Hの包含関係は、超越数論における標準的予想と矛盾するか？ そしてこれはシーゲルの問題に何を意味するか？

主な発見

• G関数のG値の環Gに属する任意の元は、あるE関数の漸近展開の係数として現れることを示し、先行研究を補完した。
• 有理数パラメータをもつ任意の超幾何E関数の漸近展開の係数は、代数的数、1/π、およびr ∈ Q \√Z≤0におけるΓ(n)(r)の値によって生成される環Hに属する。
• 留数計算およびプアッセュ展開を用いて、有理数パラメータをもつ一般のpFq(z^{q−p+1})級数に対してもこのH-包含性が成立する。
• 適切な条件下で、任意のG関数の無限遠点における解析接続の局所展開は、∑ ce,k,n z^{-e-n} log(1/z)^k の形を取り、その係数はHに属する。
• もしシーゲルの問いに肯定的解答があるならば、G ⊆ Hが成立する必要があるが、これは標準的予想のもとで極めて不自然であるとされる。
• 本論文は、G ⊆ Hが標準的予想（特に周期やL関数の特別値に関するもの）と矛盾することを示し、シーゲルの問題は否定的解答をもつ可能性が高いと結論づける。