[論文レビュー] On Simplex Pivoting Rules and Complexity Theory

Ilan Adler, Christos H. Papadimitriou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

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ひとこと要約

この論文は、特定の決定的シンプレックスピボット規則のパス上に与えられた基底が現れるかどうかを判定することはPSPACE完全であることを確立しており、P = PSPACEでない限り、このような規則は強多項式アルゴリズムの一部にはなり得ないことを示している。さらに、ダンツィッグルールのシャドウバーテックスアルゴリズムのパス問題は、取り扱い可能（多項式時間）であるが、多くの古典的ピボット規則—特にステープスエッジおよびクリス・クロス法—も同様に取り扱いにくいかと予想している。

ABSTRACT

We show that there are simplex pivoting rules for which it is PSPACE-complete to tell if a particular basis will appear on the algorithm's path. Such rules cannot be the basis of a strongly polynomial algorithm, unless P = PSPACE. We conjecture that the same can be shown for most known variants of the simplex method. However, we also point out that Dantzig's shadow vertex algorithm has a polynomial path problem. Finally, we discuss in the same context randomized pivoting rules.

研究の動機と目的

• 決定的シンプレックスピボット規則のパス問題の計算複雑性を調査すること。パス問題とは、与えられた基底がアルゴリズムのパス上に現れるかどうかを判定することである。
• このような複雑性の結果が、強多項式シンプレックスアルゴリズムの存在を除外するのを助け得るかを評価すること。
• 特にダンツィッグルールのシャドウバーテックスアルゴリズムを含む、よく知られたピボット規則の取り扱いやすさを調査し、他の規則と比較すること。
• 確率的ピボット規則へと分析を拡張し、このような規則に対する適切なパス問題の定式化を定義すること。
• 多くの古典的ピボット規則—特にステープスエッジおよびクリス・クロス法—が取り扱いにくく、強多項式アルゴリズムへの応用が制限されることを予想すること。

提案手法

• ピボット規則を、潜在関数を増加させ、最適性に到達して終了する決定的で強多項式的な手続きとして定義する。
• パス問題を形式化する：線形計画問題と基底が与えられたとき、それが規則のパス上に現れるか。この問題がPSPACEに属することを示す。
• 既知のPSPACE完全問題への還元を用いて、パス問題がPSPACE完全であることが証明される、人工的で非自然なピボット規則を構築する。
• 基底の包含が1変数の2n個の線形不等式系を解くことに帰着できることを示すことにより、ダンツィッグルールのシャドウバーテックスアルゴリズムのパス問題が取り扱い可能であることを証明する。
• 確率的ピボット規則のためのパラメータ付き問題を定義する：基底が確率f(m,n)以下またはf(m,n)+1/p(m,n)以上で現れるかどうかを区別する。ここでpは多項式、fは関数である。
• 確率的ピボット規則が期待値において強多項式的である場合、そのパス問題はBPPに属することを確立し、複雑性クラスとアルゴリズムの性能を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた決定的ピボット規則のパス問題は計算的に困難であり、もしそうならPSPACE完全である可能性はあるか？
• RQ2 パス問題のPSPACE完全性が、強多項式シンプレックスアルゴリズムの存在を除外するために利用できるか？
• RQ3 ダンツィッグルールのシャドウバーテックスアルゴリズムには取り扱いやすいパス問題があるか？他のピボット規則と比べてどうか？
• RQ4 確率的ピボット規則のパス問題は意味的に形式化可能か？また、どの複雑性クラスに属するか？
• RQ5 ステープスエッジやクリス・クロス法といった古典的ピボット規則は取り扱いにくく、同様の手法で証明可能か？

主な発見

• パス問題がPSPACE完全である決定的ピボット規則が存在し、P = PSPACEでない限り、この規則に基づく強多項式アルゴリズムは存在し得ない。
• ダンツィッグルールのシャドウバーテックスアルゴリズムのパス問題は、多項式時間で解ける。パス上に基底が含まれるかどうかは、1変数の2n個の線形不等式系を解くことに帰着される。
• 任意の強多項式的確率的ピボット規則のパス問題はBPPに属する。これにより、このような規則の複雑性理論的特徴づけが得られる。
• 本論文は、ステープスエッジやクリス・クロス法を含む多くの古典的ピボット規則が取り扱いにくく、証明は難しいが、その可能性を予想している。
• 結果から、パス問題の複雑性が強多項式シンプレックスアルゴリズムを構築する際の主要な障壁であり、既知の多くのピボット規則が本質的に取り扱いにくいかに思われる。
• 分析により、シンプレックス法の平均ケース複雑性とパス予測の取り扱いにくさの深い関係が明らかになった。これは、平均ケース解析における歴史的な困難さを説明する。