[論文レビュー] On simplified NP-complete variants of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat

Andreas Darmann, Janosch Döcker|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2019

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、変数の出現回数に厳密な制約を課した単調かつ簡略化された Not-All-Equal 3-Sat および 3-Sat の新たな NP 困難性結果を確立している。両問題が変数の出現回数に厳密な制約のもとでも NP 困難であることを示した。具体的には、変数が線形かつ単調な論理式内で正確に4回出現する場合でも、Monotone Not-All-Equal 3-Sat は NP 困難である。また、任意の k ≥ 3 に対して、各変数が正確に k 回肯定的に出現し、k 回否定的に出現する場合、または k′ ≥ 5 に対して、各変数が正確に k′ 回肯定的に出現し、1 回否定的に出現する場合、Monotone 3-Sat も NP 困難であることを示した。

ABSTRACT

We consider simplified, monotone versions of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat, variants of the famous Satisfiability Problem where each clause is made up of exactly three distinct literals. We show that Not-All-Equal 3-Sat remains NP-complete even if (1) each variable appears exactly four times, (2) there are no negations in the formula, and (3) the formula is linear, i.e., each pair of distinct clauses shares at most one variable. Concerning 3-Sat we prove several hardness results for monotone formulas with respect to a variety of restrictions imposed on the variable appearances. Monotone 3-Sat is the restriction of 3-Sat to monotone formulas, i.e. to formulas in which each clause contains only unnegated variables or only negated variables, respectively. In particular, we show that, for any $k\geq 5$, Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly $k$ times unnegated and exactly once negated. In addition, we show that Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and three times negated, respectively. In fact, we provide a complete analysis of Monotone 3-Sat with exactly six appearances per variable. Further, we prove that the problem remains NP-complete when restricted to instances in which each variable appears either exactly once unnegated and three times negated or the other way around. Thereby, we improve on a result by Darmann et al. [DDD18] showing NP-completeness for four appearances per variable. Our stronger result also implies that 3-Sat remains NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and once negated, therewith complementing a result by Berman et al. [BKS03].

研究の動機と目的

• 単調な 3-Sat および Not-All-Equal 3-Sat の変数出現頻度の閾値を特定し、多項式時間で解ける状態から NP 困難に移行する境界を同定すること。
• 特に k=2,3,4 の場合に、変数の出現がバランスしているかアンバランスな場合の Monotone 3-Sat の未解決な複雑性の問題を解明すること。
• 変数の出現回数の上限を低減し、線形性や単調性といったより厳しい構造的制約のもとで、既存の困難性結果を強化すること。
• 各変数が正確に6回出現する Monotone 3-Sat の完全な複雑性分類を提供し、バランス型とアンバランス型のケースを区別すること。
• Berman ら [BKS03] が 3-Sat-E4 に対して得た既存の結果を補完するために、各変数が正確に3回肯定的に出現し、1回否定的に出現する、またはその逆の場合に NP 困難であることを示すこと。

提案手法

• 既知の NP 完全問題からの帰着を用いて、Not-All-Equal 3-Sat および 3-Sat の単調的で線形的かつ出現回数が制限されたインスタンスを構築する。
• 補助変数を用いた変数分割ゲートの設計により、明示的な否定を用いずに否定リテラルをシミュレートし、単調性を保証する。
• 基本関数 B を用いたクラウーズの構築により、2つの分割された変数が異なる真理値をとらなければならないことを強制し、単調な論理式内での否定のシミュレーションを可能にする。
• 単調 3-Sat-E4 の構成を用いて、各変数が正確に3回肯定的に出現し、1回否定的に出現する、またはその逆の場合に 3-Sat が NP 困難であることを証明する。
• Tovey の定理の応用により、k=1 の場合の自明性を示し、(k,1) および (k,k) の設定における k=2,3,4 の未解決ケースを同定する。
• 背理法と構造的解析を用いて、構築されたインスタンスがすべての制約（線形性、単調性、正確な変数出現回数）を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数が正確に4回出現し、論理式が線形的で、否定が存在しない場合に、Monotone Not-All-Equal 3-Sat は NP 困難であるか？
• RQ2 Monotone 3-Sat において、各変数が正確に k 回肯定的に出現し、k 回否定的に出現する場合、すべての k ≥ 3 に対して NP 困難であるか？
• RQ3 Monotone 3-Sat において、各変数が正確に k′ 回肯定的に出現し、1 回否定的に出現する場合、すべての k′ ≥ 5 に対して NP 困難であるか？
• RQ4 各変数が正確に3回肯定的に出現し、1回否定的に出現する、またはその逆の場合に、Monotone 3-Sat の複雑性はどのようになるか？
• RQ5 Monotone 3-Sat-(2,2) には充足不能なインスタンスが存在するか？それとも問題は自明に充足可能であるか？

主な発見

• 変数が正確に4回出現し、論理式が線形的で、否定が存在しない場合でも、Monotone Not-All-Equal 3-Sat は NP 困難である。
• 各変数が正確に k 回肯定的に出現し、k 回否定的に出現する場合、すべての k ≥ 3 に対して Monotone 3-Sat は NP 困難である。
• 各変数が正確に k′ 回肯定的に出現し、1 回否定的に出現する場合、すべての k′ ≥ 5 に対して Monotone 3-Sat は NP 困難である。
• 各変数が正確に p 回肯定的に出現し、(6−p) 回否定的に出現する場合、すべての p ∈ {1,2,3,4,5} に対して Monotone 3-Sat は NP 困難である。
• 各変数が正確に3回肯定的に出現し、1回否定的に出現する、または3回否定的に出現し、1回肯定的に出現する場合、Monotone 3-Sat は NP 困難である。
• 3-Sat-E4 は、各変数が正確に3回肯定的に出現し、1回否定的に出現する、またはその逆の場合に NP 困難である。これは Berman ら [BKS03] の結果を補完する。