[論文レビュー] On Simultaneous Palindromes

Attila Bérczes, Volker Ziegler|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$g$ と $h$ が乗法的に独立であり、$h \mid g$ であるような2つの異なる整数の底 $g$ と $h$ において回文である整数の有限性を調査する。ディオファントス近似と対数形式の境界を用いて、特定の $g$-回文が $h$-回文である可能性がある指数 $n$ の明示的な上界を確立し、大多数の $g$-回文が $h$-回文でないことを証明する。主な結果は、$N = a g^n + \overline{(a)_g}$ の形をした同時回文のための計算可能な $n$ の上界であり、(2,10) や (2,3) のような底の組への応用を含む。

ABSTRACT

A palindrome in base $g$ is an integer $N$ that remains the same when its digit expansion in base $g$ is reversed. Let $g$ and $h$ be given distinct integers $>1$. In this paper we discuss how many integers are palindromes in base $g$ and simultaneously palindromes in base $h$.

研究の動機と目的

• 2つの異なる整数の底 $g$ と $h$ において回文である正の整数が有限個か無限個かを特定すること、特に $h \mid g$ かつ $g, h$ が乗法的に独立である場合に焦点を当てる。
• 数 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ が $g$ と $h$ の両方の底で回文である可能性がある指数 $n$ の有効な上界を確立すること。
• 固定された $g$ と $h$ に対して、$g$-回文が $h$-回文でない確率を定量化し、$g$-回文のうち $h$-回文でないものの数の下界を明示的に示すこと。
• ディオファントス近似と連分数の収束を用いて、特定の形の同時回文をすべて特定する計算フレームワークを提供すること、特に (2,10) や (2,3) のような底のペアに対して。

提案手法

• Lemma 1 を導出する。これは、$h \mid g$ かつ $g, h$ が乗法的に独立であると仮定したもとで、$N = a g^n + \sum_{i=0}^{n-m-1} a_i g^i$ が $g$ と $h$ の両方の底で回文であるための必要条件を与える。
• 対数形式の線形形式の境界を用いて、$a$, $g$, $h$ の大きさに応じて、$N$ が両方の底で回文である可能性がある $n$ の上界を導出する。
• $\log g / \log h$ の連分数理論と有理近似を適用し、必要な対数不等式を満たす $n$ が有限個であることを示す。
• $N$ が $h$-回文であるという条件から、2つの場合に分ける：$\alpha = a / \overline{(\overline{(a)_g})_h}$ が $g$ と $h$ に対して乗法的に独立である場合、および非自明な乗法的関係を満たす場合。
• $N \equiv \overline{(a)_g} \pmod{h^{m+n_a}}$ であることを利用して、$h$-表記の下位 $m+n_a$ 桁を制約し、モジュラー算術と桁の反転制約を用いる。
• SageMath を用いた計算探索を実装し、$a < 10^6$, $10 \nmid a$, かつ $\overline{(a)_{10}}$ が奇数である条件を満たす $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ の形の同時回文を検索。単一の PC で約 80 分で完了。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 \leq h < g$, $h \mid g$, かつ $g,h$ が乗法的に独立であるような底のペア $(g,h)$ に対して、$g$ と $h$ の両方の底で回文である正の整数が有限個であるのはどのような場合か？
• RQ2 数 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ が $g$ と $h$ の両方の底で回文である可能性がある指数 $n$ の有効な上界は何か？
• RQ3 $g$-回文のうち、$h$-回文であるものはどれくらいの数であり、$g$-回文が $h$-回文でないものの数の下界を確立できるか？
• RQ4 $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ のような形のすべての同時回文をアルゴリズム的に特定できるか？この探索はどの程度効率的か？
• RQ5 2進数と3進数の両方で回文である整数は有限個であるか？もしそうなら、ある上限以下の数ではいくつ存在するか？

主な発見

• $h=2$, $g=10$, かつ $a < 10^6$ の場合、$N = a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ が2進数で回文であるのは $n \leq 2.65 \times 10^{15}$ の場合に限られ、これは定理1から導かれる。
• SageMath を用いたコンピュータ探索により、$10^{18}$ 未満で2進数と10進数の両方で回文である数はたった62個にとどまり、約31日17時間で計算完了。
• 底のペア (2,3) については、$3^{66} \approx 3.09 \times 10^{31}$ 未満でしか9個の同時回文が存在せず、このペアについても有限性が示唆される。
• 底 5 と 7、11 と 13、7 と 29 の同時回文の数はそれぞれ57、58、73であり、いずれも $10^{16}$ から $10^{17}$ のオーダーの上限以下に存在し、その希少性が示される。
• 定理2は、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$x$ 未満の $g$-回文のうち $h$-回文でないものの数が $\Omega_{\epsilon,g,h}(x^{1/2 - \epsilon})$ 個以上存在することを証明し、明示的な定数を伴う。
• 連分数近似を用いた $\log g / \log h$ の近似により、$n$ を小さな値（例：$n \leq 30$）に制限することで、同時回文の探索空間を著しく削減でき、計算が効率的に行えるようになった。