[論文レビュー] On simultaneous rational approximation to a real number and its integral powers, II

Dzmitry Badziahin, Yann Bugeaud|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、与えられた λ > 1 に対して、同時有理近似指数 λₙ(ξ) が λ 以上であるような実数 ξ の集合のハウスドルフ次元を特定し、それが 2/(n(1+λ)) であることを証明している。著者らは、(ξ, ξ², ..., ξⁿ) のすべての最良同時近似がバノーヴェ曲線上にあることを示す、新たな簡潔な証明を提供しており、これは良い近似が ξ 自身の有理近似から生じることを示唆し、λₙ(ξ) のレベル集合に対する鋭い次元評価を導く。

ABSTRACT

For a positive integer $n$ and a real number $ξ$, let $λ_n (ξ)$ denote the supremum of the real numbers $λ$ for which there are arbitrarily large positive integers $q$ such that $|| q ξ||, || q ξ^2 ||, \ldots , ||q ξ^n||$ are all less than $q^{-λ}$. Here, $|| \cdot ||$ denotes the distance to the nearest integer. We establish new results on the Hausdorff dimension of the set of real numbers $ξ$ such that $λ_n (ξ)$ is equal (or greater than or equal) to a given value.

研究の動機と目的

• λ > 1 に対して、λₙ(ξ) ≥ λ または λₙ(ξ) = λ を満たす実数 ξ の集合のハウスドルフ次元を特定すること。
• λₙ(ξ) の指数のスペクトルに関する未解決問題を解決し、[1/n, ∞] を含むことを確認し、レベル集合の正確な次元を計算すること。
• すべての最良同時近似が (ξ, ξ², ..., ξⁿ) に於いてバノーヴェ曲線 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 上にあることを示す、新たな簡潔な証明を提供すること。
• 多項曲線 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ}) への一般化を行い、そのような近似集合の次元結果を導出すること。

提案手法

• バノーヴェ埋め込みを用いて、(ξ, ξ², ..., ξⁿ) のすべての最良同時近似が有理点 (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ) として特徴付けられることを示す。
• 行列式に基づく議論を適用し、複数の近似が近接している場合、分子の比が代数的恒等式を満たすことを示し、それらが共通の基本有理数から来ることを示す。
• λₙ(ξ) と wₙ(ξ) を結ぶ転送不等式を確立し、wₙ(ξ) ≥ w を満たす集合の次元に関する既知の結果を活用する。
• Jarník–Besicovich の定理およびその高次元 n への一般化を用い、λₙ(ξ) ≥ (λ₁(ξ) - n + 1)/n の関係を利用して次元評価を導出する。
• 連分数理論およびディオファントス近似の理論を用いて、明示的な例を構成し、良い近似の構造を分析する。
• d₁ = 1 かつ j = 1, ..., ℓ - 1 に対して d_{j+1} - d_j > λ を満たす任意の多項曲線 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ}) に対して、この手法を拡張し、max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ} が無限回成り立つような ξ の集合の次元が 2/(d_ℓ(λ + 1)) であることを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ > 1 および n ≥ 2 に対して、集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ} のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 λ > 1 および n ≥ 2 に対して、レベル集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ} のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 (ξ, ξ², ..., ξⁿ) のすべての最良同時近似が (p/q, (p/q)², ..., (p/q)ⁿ) の形、すなわちバノーヴェ曲線上にあるとは限らないか？
• RQ4 バノーヴェ曲線に用いられた手法を他の多項曲線に一般化し、近似集合の次元を計算できるか？
• RQ5 不等式 λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)} は成り立ち、同じ枠組みで再証明できるか？

主な発見

• 任意の整数 n ≥ 2 および実数 λ > 1 に対して、集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) ≥ λ} のハウスドルフ次元は正確に 2/(n(1 + λ)) である。
• λ > 1 および n ≥ 2 に対して、レベル集合 {ξ ∈ ℝ : λₙ(ξ) = λ} の次元も 2/(n(1 + λ)) である。
• すべての最良同時近似がバノーヴェ曲線 x ↦ (x, x², ..., xⁿ) 上にあることが、行列式の恒等式および可除性の議論により証明された。
• この手法は、d₁ = 1 かつすべての j に対して d_{j+1} - d_j > λ を満たす任意の多項曲線 (x^{d₁}, ..., x^{d_ℓ}) に一般化可能であり、max_j ||qξ^{d_j}|| < q^{-λ} が無限回成り立つような ξ の集合の次元は 2/(d_ℓ(λ + 1)) である。
• 不等式 λ̂ₙ(ξ) ≤ max{1/n, 1/λ₁(ξ)} について、可除性および行列式の境界を用いて、不等式が成り立たない場合に矛盾を導く、代替的証明が与えられた。
• この結果により、λₙ(ξ) のスペクトルが [1/n, ∞] を含むことが確認され、λ > 1 の場合、レベル集合の次元が完全に特定された。