[論文レビュー] On single scalar field cosmology

J.W. van Holten|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間的に平坦なフレリッドマン＝リマトゥール＝ロバートソン＝ウォーカー宇宙における単一スカラー場宇宙論を調査し、さまざまなポテンシャル下での場の運動方程式に対する正確解および級数解を導出する。振動する場が転送点に達する際の級数展開における二価性の問題を解消し、新しいパrametrizationを用いて指数関数的ポテンシャルの完全解を再導出し、スローロールインフレーションおよび遅い時刻の加速膨張を分析するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Observations suggest, that there may be periods in the history of the universe, including the present one, in which its evolution is driven by scalar fields. This paper is concerned with the solution of the evolution equations for a spatially flat universe driven by a single scalar field. Some general theorems relevant to the cosmology of these models are presented, and several approaches to solve the equations are discussed. For some potentials special exact solutions can be found, and for the case of exponential potentials the complete solution is rederived in a new parametrization. For the general case solutions are constructed in terms of a power series expansion in the field. The issue of double-valuedness of such a series expansion in case of oscillating fields with turning points is addressed and resolved.

研究の動機と目的

• 空間的に平坦な宇宙における単一スカラー場の宇宙論的運動方程式を解く包括的な枠組みを構築すること。
• スカラー場が振動し、転送点に達する際の級数展開における二価性の問題に取り組むこと。
• 新しいパrametrizationを用いて指数関数的ポテンシャルの完全解を再導出し、解析的明確性と適用可能性を向上させること。
• 特に非指数関数的ポテンシャルに対して、スカラー場における級数展開を用いた一般解を構築すること。
• 導出された解を用いて、インフレーションおよび遅い時刻の宇宙加速に適したスローロール条件を分析すること。

提案手法

• アインシュタイン＝ヒルベルト作用から、最小に結合されたスカラー場を含む系の有効作用および運動方程式を、一般の lapse 関数 $N(t)$ を用いたADM形式で導出する。
• 時間再パラメータ化不変性を適用し、$N=1$ とすることで、スカラー場の寄与を含む標準的なフレリッドマン方程式に簡略化する。
• ミンコフスキー空間内での相対論的粒子の類似性を導入し、宇宙論的モデルを時間に依存するポテンシャル $U[X^0,X^1] = e^{√{6}X^0}V[X^1]$ に動く粒子に写像する。
• 一般ポテンシャルに対するスカラー場 $\varphi$ における級数解を構築し、転送点および振動的挙動に注意深く取り扱う。
• 転送点近辺での係数 $g_n$ の挙動を分析し、$\eta=0$ における $H^2 = V/3$ との整合性を保証することで、級数展開における二価性を解消する。
• パrametrization $X^0 = \sqrt{6}\ln a$, $X^1 = \varphi$, および $d\tau/dt = 1/a^3$ を用いて力学を再定式化し、多スカラー場モデルへの一般化を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般ポテンシャルに対して、空間的に平坦な宇宙における単一スカラー場の宇宙論的進化を解析的にどのように解けるか？
• RQ2 スカラー場が振動し、転送点に達する際、ハッブルパラメータの級数展開に二価性が生じる原因は何か？ そして、どのように解消できるか？
• RQ3 指数関数的ポテンシャルに対する完全解とは何か？ また、新しいパrametrizationはその導出および解釈をどのように改善するか？
• RQ4 スローロール近似はどのような条件下で成立し、転送点付近で何エーフォールド分のインフレーションが達成可能か？
• RQ5 $\dot{\varphi} = 0$ かつ $V(\varphi) > 0$ となる転送点を通過する際に、級数解を一貫して拡張できるか？

主な発見

• スカラー場における級数展開は、係数の適切な分析により、転送点におけるハッブルパラメータが一価的であることを保証することで、二価性を解消する。
• 指数関数的ポテンシャルに対しては、力学を簡略化し、スローロール領域の役割を明確にする新しいパrametrizationを用いて完全解を再導出した。
• スローロール条件 $V/3 \leq H^2 < V/2$ は $V > 0$ の領域でのみ満たされ、$H^2 = V/3$ となる転送点付近で自然に実現される。
• スローロールインフレーション中のエーフォールド数は $N \sim \frac{2}{3}\sqrt{v_0/v_1} \times \mathcal{O}(1)$ と推定され、十分なインフレーションを達成するには $v_0/v_1 \sim 10^4$ 必要である。
• $\dot{\varphi}=0$ のとき $\varphi=0$ に静的なデ de Sitter またはミンコフスキー解が存在するが、これは転送点ではない。代わりに、$H = \sqrt{\varepsilon/3}$ が一定である。
• この手法により、複数の転送点を通過する解の整合的拡張が可能であり、各転送点後に $\dot{H} < 0$ が成立し、最終的に $H$ が負数になると収縮に至る。