[論文レビュー] On Singular Vortex Patches, I: Well-posedness Issues

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 87被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、m ≥ 3 に対して原点におけるコーナー特異性を有する m 重対称なバーテックスパッチの適切性を確立し、その全局的ダイナミクスがコーナー角に関する閉じた常微分方程式系によって支配されることを示している。一方、他のすべてのコーナー型については、おそらく π/2 角度を除き、一般に不適切であることが証明されており、これは即時の自己相似的くちばち形成を示唆している。

ABSTRACT

The purpose of this work is to discuss the well-posedness theory of singular vortex patches. Our main results are of two types: well-posedness and ill-posedness. On the well-posedness side, we show that globally $m-$fold symmetric vortex patches with corners emanating from the origin are globally well-posed in natural regularity classes as long as $m\geq 3$. In this case, all of the angles involved solve a \emph{closed} ODE system which dictates the global-in-time dynamics of the corners and only depends on the initial locations and sizes of the corners. {Along the way we obtain a global well-posedness result for a class of symmetric patches with boundary singular at the origin, which includes logarithmic spirals.} On the ill-posedness side, we show that \emph{any} other type of corner singularity in a vortex patch cannot evolve continuously in time except possibly when all corners involved have precisely the angle $\fracπ{2}$ for all time. Even in the case of vortex patches with corners of angle $\fracπ{2}$ or with corners which are only locally $m-$fold symmetric, we prove that they are generically ill-posed. We expect that in these cases of ill-posedness, the vortex patches actually cusp immediately in a self-similar way and we derive some asymptotic models which may be useful in giving a more precise description of the dynamics. In a companion work, we discuss the long-time behavior of symmetric vortex patches with corners and use them to construct patches on $\mathbb{R}^2$ with interesting dynamical behavior such as cusping and spiral formation in infinite time.

研究の動機と目的

• m 重対称性の下で原点におけるコーナー特異性を有するバーテックスパッチの、厳密な適切性理論を確立すること。
• このようなバーテックスパッチが時間的に連続的に進化する条件を特定すること、特に角の対称性の役割に焦点を当てる。
• 非対称または π/2 でないコーナー特異性を有するバーテックスパッチの一般的な不適切性を特定し、即時のくちばち形成を示唆すること。
• 不適切な場合のコーナー近傍における境界進化のための効果的漸近モデルを導出すること。
• 同伴論文における長時間ダイナミクス解析の基盤を築くこと、特にスパイラル形成と無限時間におけるくちばち形成を含む。

提案手法

• Yudovich の理論を用いて L¹ ∩ L∞ における弱-star連続解を定義し、流れ写像を介してバーテックスパッチの進化を記述する。
• 対称性削減を適用し、m ≥ 3 に対して m 重対称なパッチのコーナー角を記述する閉じた常微分方程式系に、2次元 Euler 動力学を簡約する。
• 対数リプシッツ推定と流れ写像の正則性を用いて、特異境界付近における速度および勾配の振る舞いを制御する。
• 勾配差分の推定と Grownwall 型不等式を用いて、中間的および C¹,α 正則性クラスにおける局所的適切性を導出する。
• コーナー付近での速度場の展開を分析し、非奇数-奇数または非対称な構成において角度の連続性が失われることを示す。
• 奇数対称性の下でのコーナー力学の形式的進化方程式を構築し、不適切な場合の自己相似的くちばち形成のための漸近モデルを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 Euler 方程式において、コーナー特異性を有するバーテックスパッチが、どのような対称性条件下で全局的に適切であるか？
• RQ2 m ≥ 3 に対して原点にコーナーを有する m 重対称バーテックスパッチのダイナミクス的挙動は何か？
• RQ3 π/2 でないコーナー角を有するバーテックスパッチが一般に不適切である理由は何か？また、これは時間的進化にどのような意味を持つか？
• RQ4 不適切なコーナー構成における即時のくちばち形成を記述するための効果的漸近モデルを導出可能か？
• RQ5 Lipschitz もしくは C¹,α 正則性の喪失は、特異コーナーを有するバーテックスパッチ境界の進化にどのように現れるか？

主な発見

• m ≥ 3 に対して原点にコーナーを有する m 重対称バーテックスパッチについて、システムは全局的に適切であり、コーナー角は初期のコーナー位置とサイズにのみ依存する閉じた常微分方程式系に従って進化する。
• この全局的適切性結果は、対数螺旋や原点における境界特異性を有する他の対称パッチへも拡張可能である。
• m 重対称性（m ≥ 3）でない、または角度が π/2 でないコーナー特異性を有するいかなるバーテックスパッチについても、一般に不適切であり、正則性の不連続な進化を示唆する。
• π/2 コーナーを有するパッチ、あるいは局所的に m 重対称な構成に対しても、不適切性は一般に成立し、即時の自己相似的くちばち形成を示唆する。
• 奇数対称性の下でコーナー力学の形式的進化方程式を導出し、不適切な場合の自己相似的くちばち形成を記述する可能性のある漸近モデルを提供する。
• C¹,α ベクトル場の空間における局所的適切性フレームワークを確立し、流れ写像の進化において ∇Φ ∈ C̊α と ∇u ∈ C̊α の同値性が鍵となるステップであることを示した。