[論文レビュー] On-Site and Off-Site Bound States of the Discrete Nonlinear Schrödinger Equation and the Peierls-Nabarro Barrier

Michael J. Jenkinson, Michael I. Weinstein|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Nonlinear Photonic Systems参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、連続的NLS極限から分岐法を用いて、1次元、2次元、3次元における離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の、現地（頂点中心）および非現地（結合・面・細胞中心）の対称的孤立波解を構築する。また、同一周波数の異なる状態間のエネルギー差が指数的に小さくなることを厳密に確立し、ペイエルス＝ナバロエネルギー障壁に対する数学的上限を与える。

ABSTRACT

We construct multiple families of solitary standing waves of the discrete cubically nonlinear Schrödinger equation (DNLS) in dimensions $d=1,2$ and $3$. These states are obtained via a bifurcation analysis about the continuum (NLS) limit. One family consists {\it on-site symmetric} (vertex-centered) states; these are spatially localized solitary standing waves which are symmetric about any fixed lattice site. The other spatially localized states are {\it off-site symmetric}. Depending on the spatial dimension, these may be bond-centered, cell-centered, or face-centered. Finally, we show that the energy difference among distinct states of the same frequency is exponentially small with respect to a natural parameter. This provides a rigorous bound for the so-called {\it Peierls-Nabarro} energy barrier.

研究の動機と目的

• 1次元、2次元、3次元におけるDNLS方程式における離散的孤立定常波の存在および構造を研究すること。
• 解を現地（頂点中心）または非現地（結合・面・細胞中心）の対称状態として分類すること。
• 同一周波数の異なる局在状態間のエネルギー差を厳密に定量すること。
• 離散的非線形系におけるペイエルス＝ナバロエネルギー障壁に対して数学的上限を与えること。
• 連続的NLSから離散的DNLSフレームワークへの分岐理論を拡張すること。

提案手法

• 1次元、2次元、3次元におけるDNLS方程式に分岐解析を適用し、連続的NLS極限から出発する。
• 離散的楕円型問題の解析により解を構築する：$-h^{-2}(\delta^2 g)_n - |g_n|^2 g_n = \omega g_n$ かつ $g \in l^2(\mathbb{Z}^d)$。
• 対称性に基づく分類を用いて、現地（頂点中心）および非現地（結合・面・細胞中心）の解を区別する。
• 重み付き $L^{2,a}$ 空間および縮小写像原理を用いた関数解析的手法により、解の減衰および正則性を制御する。
• 重み付き $L^{2,a}$ 空間における $α^{2J+2}$ 階の項を含む漸近的展開および推定を用いて、解構築における残差誤差を評価する。
• 重み付き関数空間における陰関数定理を用いて、小パラメータ仮定の下で解の存在および減衰を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DNLS方程式の1次元、2次元、3次元において、現地および非現地の対称的孤立波解は存在するか？
• RQ2 離散的非線形系における現地および非現地の局在状態の構造的差は何か？
• RQ3 同一周波数の異なるDNLS状態間のエネルギー差は、系のパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 DNLSフレームワークにおいてペイエルス＝ナバロエネルギー障壁を厳密に評価できるか？
• RQ5 離散格子構造は、内在的局在モードの安定性および移動性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 1次元、2次元、3次元におけるDNLSに対して、現地および非現地の対称的孤立定常波の複数の族が厳密に構築された。
• 現地状態は格子点（頂点）を中心に対称的であるのに対し、非現地状態は次元に応じて結合、面、または細胞を中心に対称的である。
• 同一周波数の異なるDNLS状態間のエネルギー差が、格子間隔パラメータ $h$ に対して指数的に小さくなることが示された。
• この指数的小ささが、ペイエルス＝ナバロエネルギー障壁に対する厳密な上界を提供し、離散的非線形系にその存在を確認する。
• 解の構築は連続的NLS極限からの分岐に依拠しており、$h$ が小さい範囲で有効であり、重み付き $L^{2,a}$ 空間における誤差推定は $α^{2J+2}$ 階である。
• $L^{2,a}$-重み付き空間において縮小写像原理を効果的に適用し、制御されたノルムを有する解の存在および減衰を証明した。