[論文レビュー] On Skorohod spaces as universal sample path spaces

Oliver Delzeith|ArXiv.org|Dec 6, 2004

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意のRCLL確率過程が、完備分離可能距離空間値をとる別のRCLL過程のフィルトレーションに適応している場合、その過程がスコロホド空間 $D_E[0,\infty)$ 上の可測関数として表現可能であることを示す要因定理を確立する。この要因定理により、連続性、単調性、または有界 Variation といった経路に依存する性質が要因化の下で保存され、標準的ボレル空間の技法を用いることで、確率的制御および条件付き期待値の問題が簡略化可能となる。

ABSTRACT

The paper presents a factorization theorem for a certain class of stochastic processes. Skorohod spaces carry the rich structure of standard Borel spaces and appear to be suitable universal sample path spaces. We show that, if $ξ$ is a RCLL stochastic process with values in a complete separable metric space $E$, any other RCLL stochastic process $X$ adapted to the filtration induced by $ξ$ factors through the Skorohod space $D_E[0,\infty)$. This can be understood as an extension of a stochastic process to a standard Borel space enjoying nice properties. Moreover, the trajectories of the factorized stochastic process defined on $D_E[0,\infty)$ inherit the properties of being continuous, non-decreasing, and of bounded variation, resp., from those of $X$. Considering situations which are invariant under the factorization procedure, the main theorem is a reduction tool to assume the underlying measurable space be a standard Borel space. In an example, we pick the existence theorem of regular conditional probabilities on standard Borel spaces to simplify a conditional expectation appearing in stochastic control problems.

研究の動機と目的

• スコロホド空間を経路空間として用いることで、右連続左極限をもつ（càdlàg）サンプルパスを持つ確率過程を普遍的にモデリングするフレームワークを確立すること。
• 任意のRCLL過程が、別のRCLL過程のフィルトレーションに適応している場合、その過程がスコロホド空間 $D_E[0,\infty)$ を通じて要因化され、経路に依存する性質が保存されることを示すこと。
• 基礎となる確率空間を標準的ボレル空間と仮定できることにより、確率的制御および条件付き期待値の問題における還元ツールを提供すること。
• スコロホド空間の普遍的構造を活用することで、確率的モデルにおける正則条件付き確率測度の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 論文はドーブ＝ダインキンの補題と標準的ボレル空間の構造を用いて、適応的RCLL過程をスコロホド空間 $D_E[0,\infty)$ を通じて要因化する。
• 駆動過程 $\xi$ のサンプルパスをスコロホド空間に写像する普遍的写像 $\widetilde{\xi}: \Omega \to D_E[0,\infty)$ を定義し、フィルトレーション構造を保存する。
• 要因化は $X(t,\omega) = X^*(t, \widetilde{\xi}(\omega))$ の形で構築され、$D_E[0,\infty)$ 上で $X^*$ が $\mathbb{F}^{(E)}$-適応的であることを保証する。
• 連続関数、非減少関数、または有界変動関数のクラスに属する経路を持つ過程に対しても、この方法は拡張可能であり、要因化された過程 $X^*$ においてもこれらの性質が保存される。
• 証明は、標準的ボレル空間上での正則条件付き確率測度の存在に依存しており、これにより確率的制御問題における条件付き期待値の簡略化が可能となる。
• このフレームワークは、初期値が確率的なSDEの経路的解に応用され、条件付き期待値がスコロホド空間上の要因化された過程を通じて初期値のみに依存することが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のRCLL過程が、別のRCLL過程のフィルトレーションに適応している場合、その過程がスコロホド空間 $D_E[0,\infty)$ 上の可測関数として表現可能か？
• RQ2 要因化の過程で、連続性、単調性、または有界変動といった経路に依存する性質が保存されるか？
• RQ3 スコロホド空間の普遍的構造を用いて、一般の確率的モデルを標準的ボレル空間に還元し、条件付き期待値の計算を簡略化できるか？
• RQ4 要因化定理は、確率的制御問題における正則条件付き確率測度の適用をどのように促進するか？

主な発見

• 値が分離可能距離空間 $E'$ をとる任意の $\mathbb{F}^\xi$-適応的RCLL過程 $X$ は、$X(t,\omega) = X^*(t, \widetilde{\xi}(\omega))$ の形でスコロホド空間 $D_E[0,\infty)$ を通じて要因化され、$X^*$ は $D_E[0,\infty)$ 上で $\mathbb{F}^{(E)}$-適応的である。
• 要因化された過程 $X^*$ は、$X$ のサンプルパスがこれらのクラスに属する場合、連続性、非減少性、有界変動性といった経路に依存する性質を引き継ぐ。
• 標準的ボレル空間上での正則条件付き確率測度の存在により、確率的制御における条件付き期待値の簡略化が可能であり、これは初期値が確率的なSDEの解において示されている。
• 条件付き期待値 $\mathbb{E}^P[f(Y_t^{(Z)})|\mathcal{F}_{t_0}^\xi]$ は $\mathbb{E}^P[f(Y_t^{(z)})|\mathcal{F}_{t_0}^\xi]\big|_{z=Z}$ に等しく、これは問題をスコロホド空間に還元し、要因化の普遍的性質を用いることで証明されている。
• このフレームワークにより、基礎となる確率空間を一般性を失わず標準的ボレル空間と仮定でき、確率解析における証明が簡略化される。