[論文レビュー] On small values of the Riemann zeta-function on the critical line and gaps between zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Dec 4, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、セルバーグの値分布理論と漸近的解析を用いて、臨界線上のリーマン・ゼータ関数の小さな値の測度を調査する。定数 $ c > 0 $ に対して、$ t \in [0,T] $ で $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ となる集合の測度に対して明示的な誤差項を確立し、それが $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{("log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $ であることを示しており、従来の確率的極限定理を顕著に改善している。

ABSTRACT

Small values of $|ζ(1/2+it)|$ are investigated, using the value distribution results of A. Selberg. This gives an asymptotic formula for $μ(\{0 < t \le T : |ζ(1/2+it)| \le c\})$. Some related problems involving values of $|ζ(1/2+it)|$ and gaps between the consecutive ordinates of zeros of $ζ(s)$ are also discussed.

研究の動機と目的

• 固定された定数 $ c > 0 $ に対して、実数 $ t \in [0,T] $ で $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ となる集合の漸近的測度を求める。
• ラウリンチクアスの確率的極限定理を改善し、小さなゼータ値の分布に対して明示的誤差項を伴う漸近公式を導出する。
• 小さなゼータ値と $ \zeta(s) $ の非自明な零点間のギャップとの関係を分析する。特にリーマン予想の下で検討する。
• 連続する零点間のギャップサイズによって最大値 $ |\zeta(1/2 + it)| $ が有界となる区間の密度を調査し、零点の単純性と関連付ける。

提案手法

• ゼータ関数の $ |\zeta(1/2 + it)| $ の分布に関するセルバーグの漸近公式（定理2）を用い、従来の確率的極限定理よりも鋭い誤差項を得る。
• 複素モーメント法を適用し、恒等式 $ \frac{1}{T}\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2i\tau(2\log\log T)^{-1/2}} dt = e^{-\frac{1}{2}\tau^2} + S_T(\tau) $ を用いるが、誤差項 $ S_T(\tau) $ は明示的に評価されていない。
• セルバーグの公式に $ y = \frac{\log c}{\sqrt{\frac{1}{2}\log\log T}} $ を代入し、$ |y| \leq 1 $ のときのガウス尾部推定 $ \Phi(y) = \frac{1}{2} + O(|y|) $ を利用して主結果を導出する。
• フジイの既知の評価 $ \sum_{\bar{\gamma}_n \leq T} (\bar{\gamma}_{n+1} - \bar{\gamma}_n)^2 \leq 9 \cdot \frac{2\pi T}{\log(T/2\pi)} $ を用いて、リーマン予想の下で小さなギャップの数の下界を導出する。
• 連続する零点 $ \gamma_n, \gamma_{n+1} $ の間で $ \max_{\gamma_n \leq t \leq \gamma_{n+1}} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ を満たす区間の集合 $ \mathcal{A}(T) $ を分析し、主漸近公式を用いてその測度に対する上界を導出する。
• 本質的単純性仮説とモンゴメリーのペア相関予想を仮定し、リーマン予想の下で $ A(T) = o(N_0(T)) $、したがって $ D(T) = o(N_0(T)) $ が成り立つと議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ c > 0 $ に対して、$ t \in [0,T] $ で $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ となる集合の漸近的測度は何か？
• RQ2 ゼータ関数の $ |\zeta(1/2 + it)| $ の確率的極限定理は、明示的誤差項を伴う漸近公式に強化可能か？
• RQ3 小さな値 $ |\zeta(1/2 + it)| $ と連続する非自明な零点間のギャップにはどのような関係があるか？
• RQ4 リーマン予想の下で、$ \max |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ を満たす区間の密度について何が言えるか？
• RQ5 ガウス・ユニタリー・エンsemble仮説が成り立つと仮定した場合、$ A(T) = o(N_0(T)) $ となるか？

主な発見

• 測度 $ \{ t \in [0,T] \mid |\zeta(1/2 + it)| \leq c \} $ は漸近的に $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{(\log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $ であり、従来の極限定理を顕著に改善している。
• 任意の固定された $ 0 < c_1 < c_2 $ に対して、$ c_1 \leq |\zeta(1/2 + it)| \leq c_2 $ を満たす $ t \in [0,T] $ の測度は $ o(T) $ である。これは、このような値が測度的にまれであることを示している。
• リーマン予想の下で、$ \max_{t \in [\gamma_n, \gamma_{n+1}]} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ を満たす区間 $ [\gamma_n, \gamma_{n+1}] $ の数は少なくとも $ (1/9 + o(1))N_0(T) $ である。これは、このような区間が多数存在することを示唆している。
• このような区間の集合 $ \mathcal{A}(T) $ の測度は $ \ll T \frac{\log\log\log T}{\sqrt{\log\log T}} $ である。これは、最大ゼータ値がギャップサイズによって有界となる区間の全長が小さいことを意味する。
• 本質的単純性仮説とガウス・ユニタリー・エンsemble仮説を仮定すると、$ A(T) = o(N_0(T)) $ が成り立つ。これは、このような区間が数え上げ的にもまれであることを意味する。
• ギャップの数がゼータ零点総数に漸近的に等しいという予想 $ B(T) \sim N_0(T) $ は、導出された下界と強い仮定の下で支持されている。