[論文レビュー] On smooth surfaces in P4 containing a plane curve

Philippe Ellia, C. Folegatti|ArXiv.org|Oct 31, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異点集合が2次元であるハイパーサーフェス上にある、平面曲線を含む射影4次元空間内の滑らかな曲面の幾何的制約に焦点を当て、その曲面が一般型でない場合の分類に有効な道具を提供する。特に、不正則性が0である滑らかな曲面が、2次元特異点集合をもつ四次ハイパーサーフェス上にある場合、その次数は40で有効に上限づけられることを証明している。

ABSTRACT

We consider smooth surfaces $S \subset \Pq$ containing a plane curve $P$ and prove some general result concerning the linear system $|H-P|$. We then look at regular surfaces lying on hypersurfaces of degree $s$ having a plane of multiplicity $(s-2)$. This implies that $S$ contains a plane curve. We prove that the degree of such surfaces is bounded and for $s=4$ we compute an actual bound.

研究の動機と目的

• 平面曲線を含むP4内の滑らかな曲面を、その線型系と幾何的制約を分析することで分類すること。
• 特異点が制御されたハイパーサーフェスに埋め込まれた場合の、そのような曲面の有効な次数上限を確立すること。
• 次数の上限に与える不正則性条件 q(S)=0 の役割を調査すること。
• |H−P| の基底付属集合と平面内での残余スキーム R の相互作用を調べること。
• q(S)=0 の仮定を外した場合でも次数上限が成立するかを検討し、より広範な適用可能性を示唆すること。

提案手法

• 平面 Π 内に平面曲線 P を含む滑らかな曲面 S⊂P4 上の線型系 |H−P| を分析し、その基底付属集合が0次元であり、平面 Π 内に含まれることを示す。
• Severi の定理とBertini の定理を用いて、P が非退化であり、|H−P| の一般要素が Π 外で滑らかであることを証明する。
• S∩Π における P に関する残余スキーム R を定義し、チャーン類の計算により |H−P| の基底付属集合が R に一致することを証明する。
• 付随理論と交線論を用いて deg(R) = d−2p+P² を計算し、これにより曲面および平面曲線の不変量と関連づける。
• 連結理論と算術的にコhen＝マカウル（a.C.M.）曲線の理論を用いて、ハイパーサーフェス断面の幾何的 genus と次数の上限を求める。
• 平面を通過する二次曲面 Q_H のパラメトライゼーションを用いて、曲線 Y_H の双次数を分析し、種数比較により次数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q(S)=0 である滑らかな曲面 S⊂P4 が、dim(Sing(Σ))=2 である四次ハイパーサーフェス Σ 上にある場合、その最大次数は何か？
• RQ2 S に含まれる平面曲線 P の存在が、線型系 |H−P| 及びその基底付属集合の構造に与える影響は何か？
• RQ3 ハイパーサーフェスが (s−2)-重平面をもつ場合、平面曲線を含む滑らかな曲面の次数は有効に上限づけられるか？
• RQ4 次数の上限を得るためには q(S)=0 の仮定が厳密に必要であるか、それとも正の不正則性を持つ曲面に対しても拡張可能か？
• RQ5 P4 内の平面曲線を含む曲面 S が算術的に Cohen-Macaulay であるために必要な幾何的条件は何か？

主な発見

• q(S)=0 である滑らかな曲面 S⊂P4 が、dim(Sing(Σ))=2 である四次ハイパーサーフェス Σ 上にある場合、その次数は40で有効に上限づけられる。
• 線型系 |H−P| の基底付属集合は0次元であり、S∩Π における P に関する残余スキーム R に一致する。
• 次数 d≥21 の場合、四次ハイパーサーフェスに2次元特異点集合をもつ曲面の上では、次数 p の平面曲線は存在できない。
• d−p が奇数である場合、ハイパーサーフェス断面 Y_H∪P の種数は d と p の二次式で上限づけられ、これにより同じ次数上限 d≤20 が得られる。
• 証明は、ハイパーサーフェス断面の幾何的 genus と不等式 π−1≤d²/8 を比較することに依拠し、d を制限する二次不等式を導出する。
• 著者らは、ハイパーサーフェスの特異点の解消における a.C.M. および被覆空間の議論に基づき、q(S)=0 の仮定がなくても次数上限が成立すると予想している。