[論文レビュー] On smoothness of isometries between orbit spaces

Marcos M. Alexandrino, Alexander Lytchak|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、等長群作用の軌道空間間の等長写像が常に微分同相写像であるかどうかを検討し、コンパクト群の表現の局所的幾何がモデルとなる場合にその主張が成り立つことを示している。主な結果は、表現の商空間間の等長写像が不変多項式を保存するならば、それが滑らかであることを確立し、これを用いて無限小的に極的な foliation に対する Molino の予想を証明する。

ABSTRACT

We discuss the connection between the smooth and metric structure on quotient spaces, prove smoothness of isometries in special cases and discuss an application to a conjecture of Molino.

研究の動機と目的

• 商空間の計量構造がその滑らかさ構造を決定するかどうかを特定する。具体的には、軌道空間間の等長写像が必ず微分同相写像であるかどうかを検討する。
• 特異 Riemannian foliation および軌道空間における計量構造と滑らかさ構造の相互作用を調査する。
• 群の表現の研究に帰着することで、等長写像の滑らかさに関する幾何的基準を提供する。
• 結果を、Molino が提起した、特異 Riemannian foliation の閉包が再び特異 Riemannian foliation であるという予想に適用する。
• Myers-Steenrod や Chevalley の制限定理といった古典的結果を、特異商空間および foliation の文脈に一般化する。

提案手法

• スライス定理と指数写像を用いて、等長写像の滑らかさに関するグローバルな問いを、表現の局所的モデルに還元する。
• Schwarz の定理により、表現空間 $V$ 上の滑らかな $G$-不変関数は、不変多項式の滑らかな関数として表せることを用いる。
• 表現 $V/G$ と $W/H$ の軌道空間間の等長写像が、生成する不変多項式を保存するならば、それは微分同相写像であることを確立する。
• 幾何的解消技術を用いて特異 foliation を正則なものに置き換え、基本形式および Killing ベクトル場に関する既知の結果の適用を可能にする。
• 基本 1-形式と水平ベクトル場の双対性を用いて、解消された空間から元の軌道空間への滑らかさ構造の持ち上げを実現する。
• 基本形式および横断的系の理論を用いて、無限小的に極的な foliation の閉包が特異 Riemannian foliation であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間 $M/G$ の計量がその滑らかさ構造を決定するのか、すなわち、このような商空間間のすべての等長写像が微分同相写像であるのかどうか。
• RQ2 コンパクト群の表現の軌道空間間の等長写像が、不変多項式への作用を分析することで滑らかであることを示せるか。
• RQ3 測地線に沿った多項式的成長を示す関数は、Alexandrov 空間の計量および滑らかさ構造をどの程度特徴づけるのか。
• RQ4 完備 Riemannian 多様体上の特異 Riemannian foliation の閉包は、Molino が予想したように再び特異 Riemannian foliation であるか。
• RQ5 特に無限小的に極的な foliation の場合に、幾何的解消写像を介して商空間の滑らかさ構造を解消空間から持ち上げられるか。

主な発見

• コンパクト群の表現の軌道空間 $V/G$ と $W/H$ 間の等長写像が、生成する不変多項式を保存するときかつそのときに限り、微分同相写像である。
• 商空間 $M/G$ 上の滑らかさ構造は、$M$ 上の $G$-不変な滑らかな関数によって決定され、作用が極的である場合には計量と整合的である。
• Molino の予想 — 特異 Riemannian foliation の閉包が再び特異 Riemannian foliation である — は、無限小的に極的な foliation に対して成り立つ。
• 幾何的解消 $F: ilde{M} o M$ は、$M$ と $ ilde{M}$ 上の基本形式の層の間の双対写像を誘導し、滑らかさ構造の転送を可能にする。
• 滑らかな水平ベクトル場は、解消から持ち上げた基本 1-形式の双対として構成でき、これが foliation の閉包を生成する。
• 無限小的に極的な foliation に対しては、水平ベクトル場の閉包が最小のストラトムへの制限によって一意に決定され、Molino 理論の重要な予測を裏付ける。