[論文レビュー] On Sobolev extension domains in $R^n$

Pavel Shvartsman|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界からの距離に関連する曲線の積分条件を満たす領域が、$W^k_p$-拡張領域であることを示す内挙動的双曲的距離を用いた、$\mathbb{R}^n$ 内の Sobolev $W^k_p$-拡張領域の特徴付けを提示する。この条件は、境界からの距離と曲線長の関係を含み、$q > p^*$ における $W^k_q$ 空間への拡張領域であることを保証する。ここで $p^* \in (n,p)$ である。主な結果は、平面領域における既存の研究を拡張し、特に $\mathbb{R}^2$ における $p > 2$ の場合に、拡張のための距離論的基準を提供する。

ABSTRACT

We describe a class of Sobolev $W^k_p$-extension domains $Ω\subset R^n$ determined by a certain inner subhyperbolic metric in $Ω$. This enables us to characterize finitely connected Sobolev $W^1_p$-extension domains in $R^2$ for each $p>2$.

研究の動機と目的

• 境界からの距離から導かれる内挙動的双曲的距離を用いて、$\mathbb{R}^n$ 内の $W^k_p$-拡張領域を特徴付ける。
• 曲線に沿った $\operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\frac{1-n}{p-1}}$ の可積分性に基づいて、領域が $W^k_p$-拡張領域であるための十分条件を確立する。
• 有限連結な平面領域が $p > 2$ の場合に $W^1_p$-拡張領域であるための完全な特徴付けを、幾何的積分条件を用いて与える。
• Jones や Buckley-Koskela らの既存の結果を、距離論的枠組みを用いて統一的かつ拡張する。
• 領域が内挙動的双曲的条件を満たすならば、Sobolev 関数の鋭い最大函数が $L_q$ に属することを示し、最大函数の推定を用いて拡張を可能にする。

提案手法

• 曲線 $\gamma \subset \Omega$ の挙動的双曲的長さを、$\alpha = \frac{p-n}{p-1}$ として $\int_\gamma \operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\alpha-1} \, ds(z)$ で定義し、挙動的双曲的距離 $d_{\alpha,\Omega}(x,y)$ を導出する。
• すべての $x,y \in \Omega$ に対して $\|x-y\| \leq \theta$ を満たす場合に、$\int_\gamma \operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\frac{1-n}{p-1}} \, ds(z) \leq C\|x-y\|^{\frac{p-n}{p-1}}$ を満たす領域は $\mathbb{R}^n$ の正則部分集合であることを確立し、最大函数技法の適用を可能にする。
• Hardy-Littlewood の最大函数定理を用いて、$|\nabla^k f|$ の $L_{p^*}$-ノルムと $f$ の $L_q$-ノルムを用いて、$f^\sharp_{k,\Omega}$ の $L_q(\Omega)$ 内での制御を行う。
• 鋭い最大函数による Calderón 型の拡張基準を適用する：関数 $f \in L_p(S)$ が $W^k_p(\mathbb{R}^n)$ に拡張可能であるための必要十分条件は、$f^\sharp_{k,S} \in L_p(S)$ であることであり、ノルムは正則性パrameter に依存する定数の範囲で同値である。
• 挙動的双曲的条件が $\Omega$ の正則性を示し、[S4] の拡張基準を適用可能にする。これにより、$f \in W^k_q(\Omega)$ が $W^k_q\left(\mathbb{R}^n\right)$ に拡張可能であることが結論づけられる。ここで $q > p^*$ である。
• 挙動的双曲的距離枠組みと最大函数推定、補間を組み合わせ、$\|f^\sharp_{k,\Omega}\|_{L_q(\Omega)} \leq C\|f\|_{W^k_q(\Omega)}$ を示し、拡張の証明を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ が、$W^k_p(\Omega)$ 内のすべての関数が $W^k_p(\mathbb{R}^n)$ に拡張可能であることを保証する幾何的条件は何か？
• RQ2 曲線に沿った $\int_\gamma \operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\alpha-1} \, ds(z)$ で定義される挙動的双曲的距離が、拡張領域を特徴付けるためにどのように利用できるか？
• RQ3 $p > 2$ の場合に、有限連結な平面領域 $\Omega$ が $W^1_p$-拡張領域であるための明確な条件は何か？
• RQ4 不規則な境界を持つ領域、例えば Lipschitz 域や $(\varepsilon,\delta)$-領域でない領域に対しても、鋭い最大函数基準を適用できるか？
• RQ5 挙動的双曲的距離と $W^k_\infty$-拡張領域の文脈における準ユークリッド性の関係は何か？

主な発見

• すべての $x,y \in \Omega$ に対して $\|x-y\| \leq \theta$ を満たす場合に、$\int_\gamma \operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\frac{1-n}{p-1}} \, ds(z) \leq C\|x-y\|^{\frac{p-n}{p-1}}$ を満たす領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ は、すべての $k \geq 1$ および $q > p^*$ に対して $W^k_q$-拡張領域である。ここで $p^* \in (n,p)$ であり、$n$, $p$, $C$ のみに依存する。
• $n=2$ かつ $p > 2$ の場合、有限連結な有界平面領域 $\Omega$ は、任意の $x,y \in \Omega$ に対して、それらを結ぶ rectifiable 曲線 $\gamma \subset \Omega$ が存在し、$\int_\gamma \operatorname{dist}(z,\partial\Omega)^{\frac{1}{1-p}} \, ds(z) \leq C\|x-y\|^{\frac{p-2}{p-1}}$ を満たすとき、かつそのときに限り $W^1_p$-拡張領域である。
• 挙動的双曲的距離 $d_{\alpha,\Omega}$ で $\alpha = \frac{p-n}{p-1}$ とすると、$\Omega$ に正則構造が誘導され、$\mathbb{R}^n$ の正則部分集合として扱えるようになる。これにより最大函数技法が適用可能になる。
• 関数 $f \in W^k_q(\Omega)$ の鋭い最大函数 $f^\sharp_{k,\Omega}$ は、挙動的双曲的条件のもとで $\|f^\sharp_{k,\Omega}\|_{L_q(\Omega)} \leq C\|f\|_{W^k_q(\Omega)}$ を満たし、$W^k_q(\mathbb{R}^n)$ への拡張が保証される。
• 結果は $p = \infty$ に対しても拡張可能であり、このような領域は準ユークリッド的であり、$k \geq 1$ に対して $W^k_\infty$-拡張領域である。これは Whitney や Zobin の結果と整合する。
• 証明は、$|\nabla^k f|$ の $L_{p^*}$-ノルムと $f$ の $L_q$-ノルムに Hardy-Littlewood の最大函数定理を適用することに依存しており、最大函数推定が拡張ノルムを制御することを示している。