[論文レビュー] On Soergel bimodules

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、反射的忠実性が保証されない場合でさえも、Elias-WilliamsonのSoergel bimodule圏と元のSoergel bimodule圏が同値であることを示す、bimodule理論的構成を提供する。重み空間分解を用いたより内因的な定義に基づき、図式的・ホモロジー論的技法を用いて、分類化定理を再証明し、二重リーブスの基底と忠実性の全射性を確立する。

ABSTRACT

For a Coxeter system and a representation $V$ of this Coxeter system, Soergel defined a category which is now called the category of Soergel bimodules and proved that this gives a categorification of the Hecke algebra when $V$ is reflection faithful. Elias and Williamson defined another category even when $V$ is not reflection faithful and they proved that this category is equivalent to the category of Soergel bimodules when $V$ is reflection faithful. Moreover they proved the categorification theorem for their category with less assumptions on $V$. In this paper, we give a "bimodule theoretic" definition of the category of Elias-Williamson and reprove the categorification theorem.

研究の動機と目的

• 図式的生成子と関係を避けて、Elias-Williamson圏のbimodule理論的定義を提供すること。
• 表現 $V$ に対するより弱い仮定の下で、Elias-Williamson圏の分類化定理を再証明すること。
• 表現 $V$ が反射的忠実であるとき、新しいbimodule圏と元のSoergel bimodule圏との同値性を確立すること。
• Elias-Williamson圏が、二重リーブスの基底を介してbimodule圏のKaroubi包と同値であることを示すこと。
• 重み分解を伴うgraded $R$-bimoduleを用いた、Elias-Williamsonの図式的圏の概念的で表現論的基盤を提供すること。

提案手法

• 各 $w \in W$ に対して $M_Q^w$ を持ち、$f \cdot m = w(f) \cdot m$（$f \in R$, $m \in M_Q^w$）を満たすような、$R$-bimodule $M$ で、$M \otimes_R Q = \bigoplus_{w \in W} M_Q^w$ を満たすものからなるgraded $R$-bimoduleの圏を定義。この分解を保存する射を含む。
• 圏を、$R \otimes_{R^{s_1}} \cdots \otimes_{R^{s_l}} R(n)$ の直和成分としての直和成分であるgraded $R$-bimoduleの完全部分圏として構成する。
• 重み空間分解を用いて、Elias-Williamson圏の新しい内因的なbimodule理論的モデルを定義する。
• 二重リーブス $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$ が、新しい圏における射空間の基底をなすことを証明する。
• 基底の比較により、Elias-Williamson図式的圏から新しいbimodule圏への関手が全射的かつ本質的に全射的であることを確立する。
• 両圏のホモロジー空間のgradedランクが同一であり、二重リーブスの基底を共有することを活用して、同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Elias-Williamson圏は、図式的生成子と関係を用いずに、bimodule理論的データのみで定義可能か？
• RQ2 表現 $V$ が反射的忠実でない場合でも、Hecke代数に対する分類化定理は、新しいbimodule理論的圏で成り立つか？
• RQ3 $V$ が反射的忠実であるとき、Elias-Williamson圏はSoergel bimodule圏と同値か？
• RQ4 新しい圏における二重リーブスは、射空間の基底をなすか？ これは図式的基底と一致するか？
• RQ5 関手が図式的圏からbimodule圏への基底比較によって全射的であることを確立できるか？

主な発見

• 新しいbimodule圏は、Elias-Williamson圏と同値であり、彼らの図式的構成のbimodule理論的基盤を提供する。
• Elias-Williamson圏は、新しいbimodule圏のKaroubi包と同値であり、Hecke代数の分類化が正当化される。
• 二重リーブスの集合 $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$ は、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{BS}}(B_{\underline{x}}, B_{\underline{y}})$ の基底をなす。これは [EW16] における図式的基底と一致する。
• Elias-Williamson図式的圏から新しいbimodule圏への関手は、全射的かつ本質的に全射的であり、したがって同値である。
• 新しい圏においても分類化定理が成り立つ：そのsplit Grothendieck群は、$(W,S)$ のHecke代数と同型である。
• 証明は、重み空間分解の整合性と二重リーブスの構造に依存し、最大長の要素に関する帰納法により線形独立性が確立される。