[論文レビュー] On sofic approximations of Property (T) groups

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可算無限のカジダンの性質(T)を持つ群のすべてのソフィック近似が、マーコフ作用素とチーリング定数を用いて特徴づけられる、頂点に沿った互いに素な拡張グラフの直和として本質的に表されることを証明するボーウェンの予想を解決する。主な結果は、このような近似が強いスペクトル的および拡張的性質を示す必要があることを示しており、ソフィック性と性質(T)群における拡張グラフ構造の間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

We prove Bowen's conjecture that every sequence of finite graphs that locally converges to the Cayley graph of a countably infinite group with Kazhdan Property (T) is essentially a vertex-disjoint union of expander graphs. We characterize graph sequences that are essentially a vertex-disjoint union of expander graphs in terms of the Markov operator.

研究の動機と目的

• カジダンの性質(T)を持つ群のソフィック近似の構造に関するボーウェンの予想を解決すること。
• スペクトル的および幾何的性質を用いて、本質的に互いに素な拡張グラフの直和であるとされるグラフ列を特徴づけること。
• 性質(T)群のソフィック近似と、有限グラフ上でのマーコフ作用素の挙動との間の関係を確立すること。
• マーコフ作用素と$L_2$/$L_∞$ノルムを含む不等式を用いて、そのようなグラフ列のスペクトル的特徴づけを提供すること。
• 結果を非ハイパーフィニート性の複体および粗い埋め込みに応用し、幾何群論およびグラフ論における未解決の問題に答えを提示すること。

提案手法

• グラフ列が本質的に互いに素な拡張グラフの直和であることを特徴づける4つの条件の同値性を証明する：マーコフ作用素の不等式、大規模な集合における等周的条件、分割に基づく拡張、および拡張グラフの直和とのグラフ対称差。
• d-正則グラフ上のマーコフ作用素$M_n$を用いて、成分全体にわたる均一な拡張性を示すスペクトル的条件を定義する。
• 対称差の辺集合が頂点数に比べて非線形に小さいという意味での「本質的に」互いに素な直和の概念を用い、頑健な近似を定義する。
• 確率的およびスペクトル的技法、特に$ℤ_p$におけるランダムな辺重み付けと測度集中を用いて、非拡張的ケースで矛盾を導く。
• 性質(T)群が正のカジダン定数を持つという事実を活用し、マーコフ作用素不等式におけるスペクトルギャップを強化する。
• ランダムウォークと$ℤ_p$におけるサイクル和を用いた背理法により、非ハイパーフィニートな複体は特定の近似を支持できないことを示し、主要結果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質(T)群のソフィック近似は、本質的に互いに素な拡張グラフの直和として特徴づけられるか？
• RQ2 有限グラフに対して、どのようなスペクトル的または幾何的条件が、それらが本質的に互いに素な拡張グラフの直和であることを示すか？
• RQ3 d-正則グラフ上のマーコフ作用素は、対応するグラフ列の拡張性および互いに素な構造をどのように反映するか？
• RQ4 スペクトルギャップとカジダン定数を用いて、カジダン群のソフィック近似の構造をより精緻に特徴づけられるか？
• RQ5 この特徴づけの結果は、大径路のグラフにおける複体の非ハイパーフィニート性および粗い埋め込みにどのような意味を持つか？

主な発見

• 可算無限の性質(T)群のすべてのソフィック近似は、正の定数$\gamma>0$によって下から有界なチーリング定数を持つ$d$-正則拡張グラフの頂点に沿った互いに素な直和として本質的に表される。
• $d$-正則グラフ列に対して、4つの特徴づけ（マーコフ作用素不等式、等周的条件、分割に基づく拡張、および拡張グラフの直和との対称差）の同値性が成り立つ。
• カジダン群のソフィック近似に対して、マーコフ作用素不等式におけるスペクトルギャップ$\varepsilon$はカジダン定数としてとれるため、結果が強化される。
• 等周的条件における例外集合$B_n$および分割条件における$P_n^0$は、ソフィック近似の誤差集合に含まれる。
• 結果から、有限生成性を持つ性質(T)群のケイリー複体に局所的に収束する任意の2次元複体の列は、1-ハイパーフィニートではないことが導かれる。
• 本稿は、メンデルとナオルの結果（大径路のグラフへの粗い埋め込みに関する）の新たな証明を提供し、L. M. ロヴァーシュが提起したリーマンスの埋め込みに関する問いに答えを提示する。