[論文レビュー] On Soft Connectedness

E. Peyghan, Babak Samadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、軟被覆空間における軟連結性と軟局所連結性の概念を導入し、古典的位相幾何学に類似した基礎的結果を確立する。軟被覆空間が軟連結であるための必要十分条件として、非自明な軟開集合かつ軟閉集合である集合が存在しないこと、すなわち、唯一の軟開かつ軟閉集合が空集合と普遍集合であることを示し、軟連続な全射写像および軟積空間においても軟連結性が保存されることを証明する。

ABSTRACT

The soft topological spaces and some their related concepts have stud- ied in [7]. In this paper, we introduce and study the notions of soft connected topological spaces after a review of preliminary definitions.

研究の動機と目的

• 軟被覆空間における軟連結性の形式的定式化と研究を通じて、古典的位相的概念を軟的枠組みへと拡張すること。
• 軟局所連結および弱局所連結空間の定義と分析を行い、それらが連結成分とどのように関係するかを確立すること。
• 軟連続写像および軟積空間における軟連結性の挙動を調査すること。
• 古典的位相と類似するように、非自明な軟開閉集合が存在しないことによる軟連結性の特徴づけを行うこと。
• 自然な関係に基づく同値類としての軟連結成分を定義し、その構造的性質を証明すること。

提案手法

• 軟分離（非空の軟開集合のペアで、和集合が普遍軟集合で、交わりが空集合であるもの）が存在しないことにより、軟連結性を定義する。
• 関係 $ x \sim y $ を「$ x $ と $ y $ を含む軟連結部分空間が存在する」として定義し、その同値類として軟連結成分を定義する。
• 特徴づけの結果を確立：軟被覆空間が軟連結であるための必要十分条件は、軟開かつ軟閉である集合が $ \Phi_E $ と $ \widetilde{X} $ のみであること。
• 軟連続関数 $ f_{pu} $ を用いて連結性の性質を移行させ、軟連結空間の軟連続な全射写像による像が軟連結であることを証明する。
• 軟積空間の概念を適用し、因子が共通点を共有する場合、その積が軟連結であることを示す。
• 任意の点の軟開近傍内に、その点を含む軟連結な軟開近傍が存在することを条件として、軟局所連結空間を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軟被覆空間における軟連結性の適切な定義は何か？ そして、古典的連結性とどのように関係するか？
• RQ2 軟連続関数は軟連結性にどのように影響を与えるか？ また、このような写像の下で軟連結性は保存されるか？
• RQ3 軟連結成分の構造はどのようなものか？ また、軟開集合・軟閉集合とどのように関係するか？
• RQ4 軟被覆空間が軟局所連結であるための条件は何か？ また、軟開部分集合における成分の開性とどのように関連するか？
• RQ5 特に部分空間が非自明に重なっている場合、軟積空間における軟連結性の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 軟被覆空間 $ (X,\tau,E) $ が軟連結であるための必要十分条件は、軟開かつ軟閉である集合が $ \Phi_E $ と $ \widetilde{X} $ のみであることである。これは古典的位相と類似した特徴づけを提供する。
• 軟連続な全射写像の下で軟連結性は保存される：$ f_{pu} $ が軟連結空間 $ (U,\tau,A) $ から $ (V,\tau',B) $ への軟連続かつ全射であれば、$ (V,\tau',B) $ も軟連結である。
• 因子が共通点を共有する場合、軟積空間 $ (U \times V, \tau, A \times B) $ は軟連結である。これは、それらの和集合が軟連結部分空間をなすからである。
• 軟連結成分は互いに素で、軟連結であり、それらの和集合は全普遍軟集合 $ \widetilde{X} $ に一致する。また、任意の軟連結部分空間は、必ず一つの成分に完全に含まれる。
• 軟被覆空間が軟局所連結であるための必要十分条件は、任意の軟開集合 $ (Y,E) $ に対して、$ (Y,\tau_Y,E) $ の各軟連結成分が $ X $ において軟開であることである。
• 軟弱局所連結性は軟局所連結性を含む。これにより、これらの二つの概念の間に階層関係が確立される。