[論文レビュー] On Soliton Interactions for a Hierarchy of Generalized Heisenberg Ferromagnetic Models on SU(3)/S(U(1) $ imes$ U(2)) Symmetric Space

Vladimir S. Gerdjikov, Georgi G. Grahovski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理的因子を用いたZakharov-Shabatのドレッシング法を用いて、対称空間SU(3)/S(U(1)×U(2))上での可積分非線形発展方程式（NLEEs）のNソリトン解を構成する。2種類のソリトン型—四重項と二重項—を特定し、偶数分散則では時間に依存する振幅および速度を示す非移動ソリトンが生じるのに対し、奇数分散則では標準的な移動波が得られることを明らかにする。漸近的解析により、NLSおよびヘイゼンベルグ模型とは異なり、位相および重心のずれが明確に分離された完全な弾性的相互作用が確認される。

ABSTRACT

We consider an integrable hierarchy of nonlinear evolution equations (NLEE) related to linear bundle Lax operator L. The Lax representation is Z2 imes Z2 reduced and is naturally associated with the symmetric space SU(3)/S(U(1) imes U(2)). The simplest nontrivial equation in the hierarchy is a generalization of Heisenberg ferromagnetic model. We construct the N-soliton solutions for an arbitrary member of the hierarchy by using the Zakharov-Shabat dressing method with an appropriately chosen dressing factor. Two types of soliton solutions: quadruplet and doublet solitons are found. The one-soliton solutions of NLEEs with even and odd dispersion laws have different properties. In particular, the one-soliton solutions for NLEEs with even dispersion laws are not traveling waves; their velocities and their amplitudes are time dependent. Calculating the asymptotics of the N-soliton solutions for t ightarrow \pm \infty we analyze the interactions of quadruplet solitons.

研究の動機と目的

• 対称空間SU(3)/S(U(1)×U(2))に関連する可積分非線形発展方程式（NLEEs）の階層に対するソリトン解を導出し、解析すること。
• ${\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}$還元がソリトン解の構造に与える影響を調査すること。
• Lax作用素の固有値配置に基づいて、ソリトン型（四重項および二重項）を分類すること。
• 偶数および奇数分散則下での1ソリトン解の動的挙動を検討すること。
• 奇数分散則の場合の四重項ソリトンの漸近的相互作用を分析し、弾性散乱およびシフトパラメータに注目すること。

提案手法

• 1ソリトン解を生成するために、2つの単純極を持つ有理的ドレッシング因子を用いたZakharov-Shabatドレッシング法を採用する。
• Laxペairに${\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}$還元を適用し、対称空間SU(3)/S(U(1)×U(2))と整合性を持つように保証する。
• 再帰的作用素を用いて、基本的なLax表現からNLEEsの階層全体を生成する。
• 1ソリトンドレッシング変換の繰り返し適用または多重極ドレッシング因子を用いて、マルチソリトン解を構成する。
• Lax作用素のスペクトル特性を解析し、離散固有値が四重項$\pm\lambda_k, \pm\lambda_k^*$または二重項$\pm i\kappa_j$として特定されることを明らかにする。
• Nソリトン解の漸近的挙動を$t \to \pm\infty$で計算し、相互作用ダイナミクスおよびシフトパラメータを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(3)/S(U(1)×U(2))上での一般化ヘイゼンベルグフェロ磁性模型のソリトン解は、偶数分散則と奇数分散則でどのように異なるか？
• RQ2 ${\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}$還元によって生じるLax作用素のソリトン解の構造的および動的性質は何か？
• RQ3 この階層におけるソリトン相互作用はどの程度弾性散乱を示し、NLSや標準ヘイゼンベルグ模型とは異なったシフトパラメータはどのように異なるか？
• RQ4 偶数分散則下での時間に依存する振幅および速度を示すソリトンは、ボーモロンやトラップロンといった既知の非標準的ソリトン型とどのように関係するか？
• RQ5 Nソリトン相互作用の漸近的極限における位相および重心のずれの明示的表現は何か？

主な発見

• 偶数分散則を有するNLEEsの1ソリトン解は移動波ではない。振幅および速度が時間とともに変化し、ボーモロンやトラップロンに類似した挙動を示す。
• 二重項ソリトンは偏光成分が独立でないため、ドレッシング関数の対称性に応じて一般型および退化型の2つの場合に分かれる。
• 4つの対称固有値$\pm\lambda_k, \pm\lambda_k^*$に対応する四重項ソリトンは、2極有理的ドレッシング因子を用いて構成される。
• 奇数分散則を有するNLEEsでは、$N$-ソリトン相互作用は完全に弾性的であり、2ソリトン相互作用ごとに位相および重心のずれが生じる。
• 漸近的解析により、ソリトン相互作用が基本的な2ソリトンイベントの系列に分解されることを確認し、シフトはドレッシング因子の極$\mu_k$を用いて明示的に表現される。
• 運動量密度の第一積分（第一保存量）は良好に局在化しており、$\mathcal{I}_0 = u^*u_x + v^*v_x$として明示的に与えられる。高次の積分は再帰的に$\mathcal{L}_k = (U_0^f p_k)^d$を用いて導出可能である。