[論文レビュー] ON SOLUTIONS TO ROBUST MULTIOBJECTIVE OPTIMIZATION PROBLEMS THAT ARE OPTIMAL UNDER CONVEX SCALARIZATION

Rasmus Bokrantz, Albin Fredriksson|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、不確実性下における多目的最適化のより厳密なロバスト効率性の形式として、凸包効率集合を導入する。これは、厳密に増加する凸スカラライゼーションを用いて完全に特徴付けられ、計算可能であることを示している。主な貢献は、凸スカラライゼーションとロバスト効率性の理論的枠組みを結びつけることであり、特に凸のあいまいさ集合を伴う分布ロバストな設定において有効である。

ABSTRACT

We consider multiobjective optimization problems with objectives that depend on a random parameter. Optimality to such problems is understood using the notion of robust efficiency. Unfortunately, no convex optimization method is known that can find all robust efficient solutions, even for convex problems. In this paper, we propose a more restrictive concept of efficiency than robust efficiency, and call the subset of robust efficient solutions th at satisfy our definition the convex hull efficientset. We characterize this set by necessary and sufficient conditions that parallel classical theorems on effi ciency for deterministic problems. Specifically, we show that all convex hull efficient solutions can be found by strictly increasing and convex scalarization, and that strongly increasing and convex scalarization always yields convex hull efficient solutions. We also extend robust efficiency to distributionally robust problems, where the expectation of the objectives is optimized conditioned on the worst distribution from some ambiguity set of possible probability distributions. The convex hull efficient set is shown to coincide with the robust efficient set i f the ambiguity set is convex. The relationship between nonlinearity of the scalarizing function and conservatism of the solution is demonstrated with respect to a numerical example inspired by radiation therapy treatment planning.

研究の動機と目的

• 不確実な多目的問題において、すべてのロバスト効率解を求めるための凸最適化手法の欠如に取り組む。
• スカラライゼーションによってすべての解を体系的に得られる、より制限的だが計算上で扱いやすい効率性の概念——凸包効率——を定義する。
• 期待値があいまいさ集合からの最悪の分布の下で最適化される分布ロバスト問題へ、ロバスト効率性を拡張する。
• あいまいさ集合が凸である場合に、凸包効率集合がロバスト効率集合と一致する条件を確立する。

提案手法

• ロバスト効率性よりも stricter 条件を課すことにより、新しい効率性概念——凸包効率——を提案する。
• 古典的な決定的効率性の定理に類似した必要十分条件を用いて、凸包効率解を特徴付ける。
• すべての凸包効率解を生成するために、厳密に増加する凸スカラライゼーション関数を用いる。
• 収束を保証するために、強く増加する凸スカラライゼーションを適用し、凸包効率解へ収束させる。
• 凸のあいまいさ集合からの最悪の分布を条件として用いることで、フレームワークを分布ロバスト最適化へ拡張する。
• 特に放射線治療計画からの数値例を用いて、スカラライゼーションの非線形性と解の保守性のトレードオフを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての解を凸スカラライゼーションによって体系的に生成可能な、より制限的なロバスト効率性の形式を定義できるか？
• RQ2 分布ロバスト問題において、凸包効率集合がロバスト効率集合と一致する条件は何か？
• RQ3 スカラライジング関数の非線形性は、得られる解の保守性にどのように影響するか？
• RQ4 確率的パラメータを伴う多目的問題において、凸スカラライゼーションとロバスト効率性の関係は何か？
• RQ5 凸最適化手法は、不確実な多目的問題において、すべてのロバスト効率解を効果的に見つけるのに適しているか？

主な発見

• すべての凸包効率解は、厳密に増加する凸スカラライゼーションを用いることで特定可能であり、完全な解法を確立する。
• 強く増加する凸スカラライゼーションは、常に凸包効率解を生成し、望ましい集合への収束を保証する。
• あいまいさ集合が凸である場合、凸包効率集合はロバスト効率集合と等価であることが示され、分布的不確実性下でのアプローチの妥当性が裏付けられる。
• スカラライジング関数の非線形性が解の保守性を高めることを、放射線治療計画の例で示した。
• 提案されたフレームワークは、凸最適化を用いてロバスト効率解を計算する理論的基盤を提供し、従来の手法の限界を克服する。