[論文レビュー] On solvability of nonlinear partial differential systems of any order in the complex plane

Yifei Pan|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1変数複素関数における任意の順序の非線形偏微分方程式系の一般存在定理を確立し、J-正則曲線に関するNijenhuis-Woolf定理を拡張する。m-ラプラシアン作用素を主要部とする系について、局所的および大域的可解性を示し、原点における2m−1次までのジェット順序および2m次までの消失順序に対して解が存在することを示し、調和写像および複素解析への応用を含む。

ABSTRACT

We prove a general existence theorem for nonlinear partial differential systems of any order in one complex variable. A special case of first order contains a well-known theorem of Nijenhuis and Woolf concerning local existence of J-holomorphic curves on almost complex manifolds. As an application to differential geometry, we prove that non constant harmonic map always exists locally from a Riemann surface to a Riemannian manifold with a prescribed tangent vector at a given point.

研究の動機と目的

• 1変数複素関数における任意の順序の非線形偏微分方程式系の一般存在定理を確立すること。
• J-正則曲線に関する古典的Nijenhuis-Woolf定理を高階系へ拡張すること。
• 2m−1次までの指定されたジェットデータをもつm-ラプラシアン系の局所的可解性を証明すること。
• 原点における2m次までのジェットデータが消える自己同型m-ラプラシアン系の大域的可解性を確立すること。
• 微分幾何学への応用として、リーマン面からリーマン多様体への非定数調和写像の局所的存在を、指定された初期データをもって証明すること。

提案手法

• 1変数複素関数における高階導関数を含む系を解析するため、複素解析およびコーシー・リーマン作用素の枠組みを用いる。
• m-ラプラシアン主要部をもつ系を解くために、べき級数展開およびジェットデータに基づく構成的技法を適用する。
• 複素微分作用素 ∂ = ½(∂x − i∂y) および ̄∂ = ½(∂x + i∂y) を用いて、高階偏微分を ∂ および ̄∂ 作用素の形に表現する。
• 原点近傍におけるジェットデータを2m−1次まで制御することで、再帰的技法を用いて系を解く。
• 一般には一意でないが、一意性継続性性質を用いて、ジェット順序までの一意性を保証する。
• ∂̄^m f = F 系にこの手法を適用し、原点近傍で指定された初期ジェット条件を満たす C^{m+k} 解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1変数複素関数における任意の順序の非線形PDE系について、一般存在定理を確立できるか？
• RQ2 J-正則曲線に関するNijenhuis-Woolf定理は、高階系へどの程度拡張可能か？
• RQ3 m-ラプラシアン作用素 Δ^m が、2m−1次までの任意のジェットデータに対して局所解をもつ条件は何か？
• RQ4 原点における2m次までのジェットデータが消える自己同型m-ラプラシアン系に対して、大域的解を構成できるか？
• RQ5 リーマン面からリーマン多様体への調和写像の局所的存在が、PDEの可解性結果から従うか？

主な発見

• 定理Aは、C^k関数Aに対して、m-ラプラシアン系 Δ^m u = A(z, u, ∇u, ..., ∇^{2m−1}u) の局所的可解性を確立し、|z| ≤ R の小さな円板内で C^{2m+k} 級の解が存在することを示す。
• 解は原点近傍で u = p(z) + O(|z|^{2m}) を満たし、p(z) は次数 ≤ 2m−1 の多項式である。
• 定理Bは、A(0) = 0 および ∇A(0) = 0 を満たす自己同型m-ラプラシアン系 Δ^m u = A(u, ∇u, ..., ∇^{2m}u) に対して、原点で2m次まで消失する解の大域的可解性を証明する。
• 定理Aにおける半径Rは、Δu = e^{2u} が大域解を持たない反例によって、任意に大きくはならないことが示されている。
• 定理Cは、z₀ ∈ S の近傍からC³リーマン多様体NへのC²調和写像φの存在を証明し、φ(z₀) = p および dφ(z₀)(∂/∂x) = v を満たす。
• この手法はm調和写像および双調和写像に適用可能であり、局所的調和写像を用いてリーマン多様体の接バンドル上にKobayashi計量を定義可能である。