[論文レビュー] On Solvable Lattice Models and Knot Invariants

Doron Gepner|ArXiv.org|May 31, 1993

Random Matrices and Applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理的 conformal field theory (RCFT) から導かれる可解な相互作用周辺型 (IRF) 格子模型を用いて、リンク不変量の統一的枠組みを構築する。紫外極限においてボルツマン重みを RCFT の braiding 行列に関連付けることで、著者らは、得られる不変量がマーカフの性質を満たすことを証明し、有効なリンク不変量を形成することを示している。この構成により、ジョーンズ、HOMFLY、カウフマンといった既知の多項式が回復され、新たな多項式が生成される。これは、すべてのリンク不変量が RCFT から生じる可能性を示唆している。

ABSTRACT

Recently, a class of solvable interaction round the face lattice models (IRF) were constructed for an arbitrary rational conformal field theory (RCFT) and an arbitrary field in it. The Boltzmann weights of the lattice models are related in the extreme ultra violet limit to the braiding matrices of the rational conformal field theory. In this note we use these new lattice models to construct a link invariant for any such pair of an RCFT and a field in it. Using the properties of RCFT and the IRF lattice models, we prove that the invariants so constructed always obey the Markov properties, and thus are true link invariants. Further, all the known link invariants, such as the Jones, HOMFLY and Kauffman polynomials arise in this way, along with giving a host of new invariants, and thus also a unified approach to link polynomials. It is speculated that all link invariants arise from some RCFT, and thus the problem of classifying link and knot invariants is equivalent to that of classifying two dimensional conformal field theory.

研究の動機と目的

• 可解な格子模型を、有理的 conformal field theory (RCFT) に基づいて、体系的にリンク不変量を構築すること。
• IRF 格子模型から導かれる不変量がマーカフの性質を満たすことを示し、それが有効なリンク不変量であることを保証すること。
• ジョーンズ、HOMFLY、カウフマンといった既知のリンク多項式を、RCFT データに基づく同一の枠組みに統合すること。
• すべてのリンク不変量が、ある RCFT から生じるという予想を検討することにより、knot 不変量の分類と 2 次元 conformal field theory の分類との間の関係を明らかにすること。

提案手法

• 有理的 conformal field theory の理論を用いて、任意の RCFT とその場のための可解な IRF 格子模型を構築する。
• ボルツマン重みを、特に紫外極限における RCFT の braiding 行列の言いかえとして定義する。
• RCFT のモジュラー不変性と融合則を用いて、格子模型の整合性と可解性を保証する。
• リンクを埋め込んだトーラス上の分配関数を定義し、ボルツマン重みを用いて配置に統計的重みを割り当てる。
• 得られた分配関数が Reidemeister 移動に対して不変であることを証明し、リンク不変量に必要なマーカフの性質を満たすことを示す。
• 分配関数が、ジョーンズ や HOMFLY といった既知の多項式を一般化する well-defined なリンク不変量を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCFT から導かれる可解な格子模型が、マーカフの性質を満たす有効なリンク不変量を生成できるか？
• RQ2 IRF 格子模型のボルツマン重みは、紫外極限において RCFT の braiding 行列とどのように関係するか？
• RQ3 構築された不変量は、ジョーンズ、HOMFLY、カウフマン多項式といった既知のリンク多項式をすべて含むか？
• RQ4 すべての既知のリンク不変量を RCFT データによって統一する普遍的な枠組みが存在するか？
• RQ5 すべてのリンク不変量が、ある RCFT に基づく IRF 格子模型の分配関数として実現可能か？

主な発見

• RCFT に基づく IRF 格子模型から構築された分配関数は、マーカフの性質を満たし、有効なリンク不変量であることが確認された。
• RCFT が中心電荷 c=2/3 の最小模型である場合、この構成はジョーンズ多項式を特別なケースとして回復する。
• HOMFLY およびカウフマン多項式も、この枠組み内で特定の RCFT と場のデータの選択によって自然に出現する。
• この方法により、既知のものとは異なる多数の新しいリンク不変量が生成され、RCFT と場の選択によってパラメータ化される。
• 結果は、すべてのリンク不変量が、ある RCFT から生じるという予想を支持しており、knot 理論と 2 次元 conformal field theory の間に深い関係があることを示唆している。