[論文レビュー] On Solving Some Classes of Second Order ODEs

Rami AlAhmad, Mohammadkheer Al-Jararha|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Gyrotron and Vacuum Electronics Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、物理学および工学で生じる3種類の2階常微分方程式（ODE）を解くための解析的手法を提示する：チェビシェフ型ODE、定数係数を有するf型ODE、および正確方程式に変換可能なf型ODE。この手法は、変数変換、積分因子、正確性条件を用いて、複雑な非線形ODEを解ける1階形式に還元し、一般化されたチェビシェフ型、コーシー・オイラー型、および超幾何型方程式に対する閉形式解を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we introduce some analytical techniques to solve some classes of second order differential equations. Such classes of differential equations arise in describing some mathematical problems in Physics and Engineering.

研究の動機と目的

• 変分法および物理的モデリングに現れる広範な2階ODEを解くための解析的手法を開発すること。
• チェビシェフの、コーシー・オイラーの、超幾何型の既知の方程式を統一的フレームワークに一般化すること。
• f型ODEおよび正確方程式に変換可能な方程式を解くための体系的な手法を提供すること。
• 変数置換、積分因子、および第一積分の計算を通じて閉形式解を可能にすること。

提案手法

• チェビシェフ型ODEを解ける形に変換するため、$ z = \sqrt{p(x)} y' $ を用いた変換を導入する。
• 非正確な2階ODEに積分因子を適用し、係数に関する条件を満たす場合、正確方程式に変換する。
• 正確性の条件を用いる：$ \frac{\partial a_2}{\partial z} = \frac{\partial a_1}{\partial z'} $、$ \frac{\partial a_2}{\partial x} = \frac{\partial a_0}{\partial z'} $、および$ \frac{\partial a_1}{\partial x} = \frac{\partial a_0}{\partial z} $。
• 線積分を用いて正確方程式の第一積分を導出する：$ \int_{x_0}^x a_0 d\alpha + \int_{z_0}^z a_1 dx_0 d\beta + \int_{z_0'}^{z'} a_2 dx_0 dz_0' = c $。
• 特定の方程式、例えば$ xe^y(2x + e^y)(y'' + (y')^2) + \cdots = 0 $にこの手法を適用し、$ z = e^y $ を用いた変換と積分因子の導出を行う。
• 線形非同次ODEに対して、$ W(a_2, a_1) = a_0 a_2 $ を満たす場合、積分因子$ \mu(x) = 1/a_2(x) $ を用い、方程式を第一積分に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された変換を用いて、チェビシェフ型2階ODEを体系的に解く方法は何か？
• RQ2 定数係数を有するf型2階ODEが、どのような条件下で解ける形に還元可能か？
• RQ3 f型の非線形2階ODEは、変数変換によって正確方程式に変換可能か？
• RQ4 非正確なf型2階ODEに対して、積分因子が存在する条件は何か？
• RQ5 正確な2階ODEの第一積分はどのように計算され、次数を低減するために用いられるか？

主な発見

• 変数変換$ z = \sqrt{p(x)}y' $ を用いることで、チェビシェフ型ODE $ p(x)y'' + \frac{1}{2}p'(x)y' + f(\sqrt{p(x)}y', y) = 0 $ は1階系に還元され、解けるようになる。
• 定数係数を有するf型ODEに対しては、方程式$ a_2(f'y'' + (y')^2 f'') + a_1 f' y' + a_0 f(y) = g(x) $ が$ z = f(y) $ による変換を経て、第一積分に帰着される。
• 方程式$ p(x)(f'y'' + (y')^2 f'') + \frac{1}{2}p'(x)f' y' + a_0 f(y) = 0 $ は、$ z = f(y) $ に変換することで1階方程式に還元され、解けるようになる。
• 非線形ODE $ xe^y(2x+e^y)(y'' + (y')^2) + \cdots = 0 $ に対して、$ z = e^y $ による置換の後、積分因子$ \mu(x,z) = \frac{1}{xz(2x+z)} $ が得られ、正確方程式に変換される。
• 変換後の正確方程式 $ z'' + \frac{x+z}{z(2x+z)}z' + \frac{3x+z}{x(2x+z)} = 0 $ の第一積分は $ z' + \ln(xz\sqrt{2x+z}) = c $ であり、標準的手法で解ける。
• 線形非同次ODEに対しては、積分因子$ \mu(x) = e^{-x} $ を用いることで、$ e^x y'' + \cos x y' - (\cos x + \sin x)y = h(x) $ は $ y'' + e^{-x}\cos x y' - e^{-x}(\cos x + \sin x)y = h(x)e^{-x} $ に還元され、その第一積分は $ y' + e^{-x}\cos x y = \int h(\xi)e^{-\xi} d\xi + c_1 $ となる。