[論文レビュー] On some arithmetic properties of automorphic forms of GL(m) over a division algebra

Harald Grobner, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、数体 $F$ 上の除法代数 $D$ における $GL_m$ 上の自己形式の算術的性質を一般化し、Clozel, Shimura, Waldspurger の結果を $GL_n$ の内部形式へ拡張する。$G' = GL_m/D$ 上の正則代数的自己形式表現は、コhomological かつ本質的に温度的な無限遠成分によって特徴づけられることを確立し、グローバル・ジャケット＝ラングランズ転送が有理性およびコhomological 性質を保つことを証明する。また、主成分性の仮定の下で代数的表現に対する純粋性補題を示す。

ABSTRACT

In this paper we investigate arithmetic properties of automorphic forms on the group G' = GL_m/D, for a central division-algebra D over an arbitrary number field F. The results of this article are generalizations of results in the split case, i.e., D=F, by Shimura, Harder, Waldspurger and Clozel for square-integrable automorphic forms and also by Franke and Franke-Schwermer for general automorphic representations. We also compare our theorems on automorphic forms of the group G' to statements on automorphic forms of its split form using the global Jacquet-Langlands correspondence developed by Badulescu and Badulescu-Renard. Beside that we prove that the local version of the Jacquet-Langlands transfer at an archimedean place preserves the property of being cohomological.

研究の動機と目的

• 分裂 $GL_n$ から内部形式 $GL_m/D$ への正則代数的およびコhomological 自己形式表現の理論を拡張すること。
• グローバル・ジャケット＝ラングランズ対応を用いて、非分裂群へのClozelの正則代数的表現の概念を一般化すること。
• $G'$ 上の自己形式表現における有理性体、自己形式コhomology、および $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ の作用の間の相互作用を調査すること。
• 無限遠地点における局所的ジャケット＝ラングランズ転送がコhomological 性質を保つことを証明すること。
• $G'$ 上の正則代数的表現の有限アデール的成分の有理性体が、そのジャケット＝ラングランズ転送のそれと等しいことを確立すること。

提案手法

• $G' = GL_m/D$ 上の代数的および正則代数的自己形式表現を、$G = GL_n/F$（$n=dm$）の分裂群へのグローバル・ジャケット＝ラングランズ転送による引き戻しによって定義する。
• Badulescu, Badulescu-Renard のグローバル・ジャケット＝ラングランズ対応を用い、$G'$ 上の離散系列表現と $G$ 上のそれらを関連づけ、算術的性質の転送を可能にする。
• twisted representations $^\sigma\nu = \nu \otimes_\sigma \mathbb{C}$ を用いて、コhomological 自己形式表現およびその有理性体への $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ の作用を分析する。
• 無限小特性値およびラングランズパラメータの分析により、無限遠地点における局所的ジャケット＝ラングランズ転送がコhomological 性質を保つことを証明する。
• ヘッケ代数および自己形式ベクトルの $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-スパンを用いて、自己形式コhomology の空間に有理構造を構成し、$V_{\Pi^\prime_f} \otimes_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)} \mathbb{C} \cong \Pi^\prime_f$ を示す。
• 強力な乗法性の定理および無限小特性値の比較を用いて、主成分性および正則性の仮定の下で $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) = \mathbb{Q}(JL(\Pi^\prime)_f)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散系列自己形式表現 $\Pi^\prime$ が $GL_m/D$ 上で正則代数的であるための条件は何か？ また、無限遠地点におけるコhomological 性質および温度的性質とどのように関係するか？
• RQ2 グローバル・ジャケット＝ラングランズ転送は、特に無限遠地点において、自己形式表現のコhomological 性質を保つか？
• RQ3 $G' = GL_m/D$ 上の自己形式表現の有理性体は、分裂群 $G = GL_n/F$ 上のそれらとどのように関係するか？
• RQ4 代数的表現に対する純粋性補題を、分裂の場合から $GL_n$ の内部形式へ拡張できるか？
• RQ5 $G'$ 上の正則代数的表現 $\Pi^\prime$ の有限アデール的成分 $\Pi^\prime_f$ の有理性体は、そのジャケット＝ラングランズ転送のそれと等しいか？

主な発見

• $G' = GL_m/D$ 上の離散系列自己形式表現 $\Pi^\prime$ が正則代数的であるための必要十分条件は、$JL(\Pi^\prime)$ が主成分であると仮定すると、その無限遠成分 $\Pi^\prime_\infty$ がコhomological かつ本質的に温度的であることである。
• $G'$ 上の純粋性補題が成り立つ：$\Pi^\prime$ が代数的であり、$JL(\Pi^\prime)$ が主成分であると仮定すると、$JL(\Pi^\prime)_v|\cdot|_v^{(1-n)/2}$ に関連する $\mathbb{C}^*$ の代数的特徴は、$z \mapsto z^p \overline{z}^q$ の形で $p+q = w$（$w \in \mathbb{Z}$）と表され、主成分性がなければ成り立たない。
• $G'$ 上の正則代数的表現 $\Pi^\prime$ の有限アデール的成分の有理性体 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f)$ は、$JL(\Pi^\prime)$ のそれと等しい（$JL(\Pi^\prime)$ が主成分であると仮定）。
• 無限遠地点における局所的ジャケット＝ラングランズ転送はコhomological 性質を保つ：$\Pi^\prime_\infty$ がコhomological であれば、$JL(\Pi^\prime)_\infty$ に対しても同様である。
• $H^q_{!}(S_{G'}, \mathcal{E}_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)})[\epsilon]$ 上の自己形式コhomology の空間には有理構造が存在し、$G'(\mathbb{A}_f)$-軌道の $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-スパンは、その複素化が $\Pi^\prime_f$ と同型である格子を生成する。
• $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ は数体であり、$\Pi^\prime_f$ は $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ 上に定義される。また、係数系 $E_\mu$ に対して $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) \supseteq \mathbb{Q}(E_\mu)$ が成り立つ。