[論文レビュー] On some classes of Abel-Grassmann's groupoids

Madad Khan, Faisal Faisal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、左単位元をもつアーベル・グラスマン群コイル（AG群コイル）における、弱い正則性、内部正則性、右正則性、左正則性、左準正則性、完全正則性といったさまざまな正則性クラスの構造的同値性を調査する。これらの正則性概念が、このような構造においてすべて一致することを証明し、完全な同値性を確立する。主な貢献は、左単位元をもつAG群コイルにおいて、すべての正則性概念が同一の枠組みに統合され、すべての正則性形態が等価であり、かつ群コイルが自身の平方に等しい（S = S²）ことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we have investigated different classes of an AG-groupoid by their structural properties. We have prove that weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular coincide in an AG-groupoid with left identity and in AG^{**}-groupoid. Further we have prove that every regular (weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular, completely regular) AG-groupoid with left identity (AG^{**}-groupoid) is regular but the converse is not true in general. Also it has been shown that non-associative regular, weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular AG^{*} groupoids do not exist.

研究の動機と目的

• アーベル・グラスマン群コイル（AG群コイル）における異なる正則性クラスの構造的性質を調査すること。
• 弱い正則性、内部正則性、右正則性、左正則性、左準正則性、完全正則性といったさまざまな正則性概念が一致する条件を特定すること。
• AG群コイルにおける正則性と代数的構造 S = S² の関係を明確にすること。
• 正則性概念が、恒等式 (ab)c = b(ac) を満たす AG∗-群コイルにおいて一貫して定義可能かどうかを検討すること。

提案手法

• AG群コイルにおける基礎的恒等式として、左逆則法則 (ab)c = (cb)a と中間法則 (ab)(cd) = (ac)(bd) を使用する。
• 左単位元をもつAG群コイルにおいて、パラメディアル法則 (ab)(cd) = (dc)(ba) と左単位元性質 a(bc) = b(ac) を適用する。
• 恒等式 (1)～(4) および定理1を用いた代数的変形により、正則性クラス間の同値性を証明する。
• S = S² が正則性を意味しないことを示す反例を構築し、逆は一般には成り立たないことを示す。
• AG∗-群コイルにおける置換に基づく恒等式を用いて、正則性が可換半群構造を意味することを示す。
• 補題および定理を用いた同値性の鎖を確立し、例えば弱正則性が代入および恒等式の適用により右正則性および左正則性を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左単位元をもつ場合、弱正則性、内部正則性、右正則性、左正則性、左準正則性、完全正則性のAG群コイルは一致するか？
• RQ2 S = S² はAG群コイルにおける正則性を十分に満たすか？
• RQ3 正則性概念はAG∗-群コイルにおいて一貫して定義可能か？
• RQ4 左単位元をもつAG群コイルにおいて、弱正則性と他の正則性クラスとの関係は何か？
• RQ5 S = S² がAG群コイルが正則であることを示すための条件は何か？

主な発見

• 左単位元をもつAG群コイルにおいて、弱正則性、内部正則性、右正則性、左正則性、左準正則性、完全正則性のすべての正則性クラスが同値である。
• 本稿は、左単位元をもつAG群コイルにおいて、すべての正則性クラスに対して S = S² が成り立つことを証明しているが、逆は一般には成り立たない。
• S = S² が正則性を意味しないことを示す反例が提示されており、6つの元からなるAG群コイルにおいて S = S² であるが、d などの要素は正則でない。
• 左単位元をもつAG群コイルにおいて、弱正則性は代数的恒等式および代入を用いて右正則性および左正則性を示す。
• 左単位元をもつAG群コイルにおいて、すべての正則性クラスは正則性を意味するが、逆は成り立たない。これは、(ax)a = (ax)(ay) が、べき等性や可換性などの追加条件が成り立たない限り成立しないことから示される。
• AG∗-群コイルにおいて、任意の正則性形態（弱、内部、右、左、左準、完全）は、可換半群構造を意味する。S = S² および恒等式 (6) が可換性を強制するためである。