[論文レビュー] On Some Classes of Open Two-Species Exclusion Processes

Arvind Ayyer, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、一般の流入・流出およびバルク遷移レートを有する、開いた一次元二種類の粒子からなる全非対称的単純排除過程（2-TASEP）の非平衡定常状態（NESS）を調査する。行列アンザッツおよびカップリング技法を用いて、特定のレート条件下で粒子の流量および相図の明示的表現を導出し、すべての三種類の粒子の密度プロファイルに不連続性を示すランダムに配置されたショックの存在を示した。これは、このような系においては未だ観察されていなかったものである。

ABSTRACT

We investigate some properties of the nonequilibrium stationary state (NESS) of a one dimensional open system consisting of first and second class (type 1 and type 2) particles. The dynamics are totally asymmetric but the rates for the different permitted exchanges (10 -> 01, 12 -> 21, and 20 -> 02) need not be equal. The entrance and exit rates of the different species can also be different. We show that for certain classes of rates one can compute the currents and phase diagram, or at least obtain some monotonicity properties. For other classes one can obtain a matrix representation of the NESS; this generalizes previous work in which second class particles can neither enter nor leave the system. We analyze a simple example of this type and establish the existence of a randomly located shock at which the typical density profiles of all three species are discontinuous.

研究の動機と目的

• 非平衡定常状態（NESS）の開いた二種類の粒子排除過程における非対称ダイナミクスおよび一般の流入・流出レートを有する系の分析を目的とする。
• 従来の行列アンザッツの結果を拡張し、第二級粒子が系に流入・流出可能であるようにする。これは、以前の半透膜境界条件とは異なっている。
• バルクおよび境界レートに依存する粒子流量の依存関係を特徴づけ、特に相転移およびショック形成に注目する。
• すべての三種類の粒子（タイプ1、タイプ2、および空孔）の密度が同時に不連続性を示すショックの存在を確立する。
• 正確な行列アンザッツおよびモンテカルロシミュレーションを用いて、ショックの定常性および一様な空間的分布を検証する。

提案手法

• 一般のバルクおよび境界レートを有する2-TASEPモデルのクラスに対して、行列アンザッツ法を適用し、NESSを構成する。
• カラーリング技法を用いて二種類の粒子系を一つの粒子TASEPに射影し、流量および密度プロファイルの解析を可能にする。
• カップリング論法を用いて、異なる境界レートを有する系を比較し、流量の単調性の性質を導出する。
• 右端の第二級粒子の位置に条件付けたときの線形密度プロファイルを導出する。この位置がショックの位置を示す。
• 第二級粒子の位置の確率を行列要素を用いて計算することで、ショックが系全体に一様に分布していることを確立する。
• 無限大の均一系におけるモンテカルロシミュレーションを用いてショック条件を検証し、ショックを越えて連続性が保たれることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バルクおよび境界レートがどのような条件下で、行列アンザッツを用いて開いた2-TASEPのNESSを明示的に計算可能となるか。
• RQ2 タイプ1、タイプ2、および空孔の粒子流量は流入・流出レートにどのように依存するか。また、どのような単調性の性質が現れるか。
• RQ3 NESSにおける密度プロファイルの不連続性（ショック）の性質は何か。また、すべての三種類の粒子が関与する条件は何か。
• RQ4 一般レートを有する2-TASEPにおいて、すべての三種類の粒子の密度が同じ位置で不連続となるショックが存在しうるか。
• RQ5 ショックは、正味のドリフト速度がゼロであるという意味で定常的であるか。また、ショックの位置は格子上でどのように分布しているか。

主な発見

• 特定のレートクラス（$v = 1$, $w = \text{定数}$, $\beta = \text{定数}$）において、三種類の粒子すべてについて明示的な線形密度プロファイルが得られた：$\rho_1 = \alpha$, $\rho_2 = \frac{(1-2\alpha)(w-\alpha)}{w(1-\alpha)}$, $\rho_0 = \frac{\alpha(1-2\alpha + \alpha w)}{w(1-\alpha)}$。
• ショックは右端のタイプ2粒子の位置に位置し、その位置は系全体に一様に分布しており、各サイトでの確率は $\simeq \frac{1}{L}$ である。
• ショック位置 $i$ に条件付けたとき、系は二つの独立な部分系に分解される：左部分系は排出レート $\beta = 1$ を持ち、右部分系は流入レート $w$ および排出レート $\alpha$ を持つ。
• 左部分系では、タイプ1粒子の密度は $\rho_1 = \alpha$ で一定であり、タイプ2の密度は $\rho_2 = r_2$ で一定で、空孔密度は $\rho_0 = r_0$ である。
• 右部分系では、$\alpha < w$ を満たす限り、高密度相にあり、$\rho_1 = 1 - \alpha$, $\rho_0 = \alpha$, $\rho_2 = 0$ である。
• ショックは定常的であり、正味のドリフトがなく、$J_i(\vec{r};1,w) = J_i(\vec{r}';1,w)$（$i=0,1,2$）がショックを越えて成り立つ。これは、無限大系のモンテカルロシミュレーションにより確認された。