[論文レビュー] On some classical constructions extended to hyperbolic geometry

Arseniy Akopyan|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、双曲幾何における類似概念（擬中線、擬高さ、反転に基づく構成）を導入することで、古典的なオイラーの定理、オイラー線、モンジュの定理といったユークリッド幾何学の定理を双曲幾何に拡張する。双曲幾何における九点円の類似物（オイラー円）が内接円および外接円に接することを証明し、外接円の中心、重心に類する点、オイラー円の中心、および中線の交点の4点が一直線上に並ぶ双曲オイラー線を確立する。

ABSTRACT

We consider some constructions in hyperbolic geometry that are analogous to classical constructions in Euclidean geometry. We show that both Monge's theorem and the theorem on the concurrence of the common chords of three circles also hold in absolute geometry. We proffer analogues of the Euler line and the Euler nine-point circle and also extend Feuerbach's famous theorem.

研究の動機と目的

• 古典的なユークリッド幾何学の定理（特にフェルマーの定理とオイラー線）を双曲幾何に拡張すること。
• 面積を二等分する中線を用いて定義される双曲幾何における九点円の類似物（オイラー円）の定義と存在の証明。
• 外接円の中心、重心に類する点、オイラー円の中心、および中線の交点の4点が一直線上に並ぶことの証明を通じて、双曲オイラー線を確立すること。
• 双曲幾何に適応可能な反転、点のべき、拡大変換の一般化を行い、証明を支援すること。
• モンジュの定理およびオイラー円が内接円・外接円に接することの成立が絶対幾何および双曲幾何においても成り立つことの確認。

提案手法

• 双曲幾何における三角形の面積を二等分する中線（擬中線）を導入し、ユークリッド幾何における中線に類似した性質を持つように定義する。
• 符号付き角度差を用いて擬高さを定義し、双曲三角形の構成における連続性の議論によりその存在を保証する。
• ポアンカレ円盤モデルにおいて反転および拡大変換の類似物を適用し、絶対円に関する反転を用いて幾何的性質を保存する。
• 退化した構成（例えば、漸近円、等距離曲線）を避けるために、解析接続および一般位置の議論を用い、包括的なケース解析を回避する。
• 特に絶対円に関する反転と球の中心に関する反射を用いた幾何的変換および対称性を活用し、レクセルの定理およびその双曲幾何における類似物を証明する。
• 非ユークリッド的状況において線分定理およびケイシーの定理を適用し、オイラー円と内接円・外接円の接続に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 九点円が内接円および外接円に接するというフェルマーの定理が、双曲幾何においても成り立つか？
• RQ2 双曲オイラー線を定義できるか。また、外接円の中心、重心に類する点、オイラー円の中心、および中線の交点が一直線上に並ぶか？
• RQ3 反転、点のべき、拡大変換といった古典的概念を、双曲幾何に適応する方法は何か。証明を支援するためにどのように利用できるか？
• RQ4 3つの円とそれらの共通弦に関するモンジュの定理が、双曲幾何および絶対幾何においても成り立つか？
• RQ5 三角形の面積が一定である点の軌跡に関するレクセルの定理の双曲幾何における類似物は何か？

主な発見

• 面積を二等分する中線が三角形の辺と交わる3点を通る双曲幾何におけるオイラー円は、内接円および3つの外接円に接しており、ビビコフの予想を裏付ける。
• 外接円の中心、面積を二等分する中線の交点、オイラー円の中心、および残りのオイラー円と辺の交点の交点の4点が一直線上に並び、双曲オイラー線を形成する。
• 擬中線（面積を二等分する中線）および擬高さ（符号付き角度差を用いて定義）は存在し、非ユークリッド幾何における三角形の理論に一貫性のある枠組みを提供する。
• 3つの円の共通弦の交点に関するモンジュの定理は、絶対幾何（双曲幾何を含む）においても成り立つ。
• レクセルの定理の双曲幾何における類似物が確立された：面積(ABX)が一定であるような点Xの軌跡は、球面上のAとBの対蹠点を通る円上にある。
• ポアンカレ円盤モデルにおける反転（絶対円に関する反転）は、重要な幾何的性質を保存し、古典的定理の非ユークリッド的類似物の証明を可能にする。