[論文レビュー] On some conformally invariant fully nonlinear equations, Part II: Liouville, Harnack and Yamabe

Aobing Li, Yanyan Li|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、局所的に共形平坦な多様体上での完全非線形共形不変方程式の解の存在およびコンパクト性を確立する。ヤマベ問題の一般化である。シュタウテンテンソルに自然な凸性および曲率条件が課された下で、方程式 $ f(\tilde{A}_u) = 1 $ に対して正の解が存在することを示す。ここで $ \tilde{A}_u $ は共形計量 $ \hat{g} = u^{\frac{4}{n-2}}g $ のシュタウテンテンソルを表す。$ M^n $ が標準球面と共形同値でない場合、$ u $ および $ 1/u $ に対して一様な $ C^{4,\alpha} $ 界が得られる。

ABSTRACT

The Yamabe problem concerns finding a conformal metric on a given closed Riemannian manifold so that it has constant scalar curvature. This paper concerns mainly a fully nonlinear version of the Yamabe problem and the corresponding Liouville type problem.

研究の動機と目的

• 完全非線形設定への古典的ヤマベ問題の拡張：共形不変方程式を含む。
• コンパクトで局所的に共形平坦な多様体上での完全非線形方程式 $ f(\lambda(A_{\hat{g}})) = 1 $ の解の存在および一様 $ C^{4,\alpha} $ 正則性推定を確立すること。
• 多様体が標準球面と共形微分同相でないという仮定の下で、解に対するリウヴィル型定理を証明すること。
• スカラー曲率条件をシュタウテンテンソル上の完全非線形条件に置き換えることにより、ヤマベ問題を一般化すること。

提案手法

• 本稿は、凸錐 $ \Gamma \subset \mathbb{R}^n $ 上で定義された、1次同次かつ厳密に凸な対称関数 $ f $ を用いて定義される完全非線形楕円型方程式を用いる。ここで $ \Gamma_n \subset \Gamma \subset \Gamma_1 $ である。
• 共形変換 $ \hat{g} = u^{\frac{4}{n-2}}g $ を導入し、計量のシュタウテンテンソル $ A_g $ を $ A_{\hat{g}} $ に変換し、方程式 $ f(\lambda(A_{\hat{g}})) = 1 $ を考察する。
• 証明は、動平面法およびバリア構成による事前推定と、位相的次数論およびコンパクト性の議論を組み合わせる。
• 重要な技術的ステップとして、錐 $ V $ の境界 $ \partial V $ を $ C^{4,\alpha} $ 関数 $ \phi_R^\epsilon $ で近似し、シューアダー理論と一様な界の適用を可能にする。
• 著者らは極限的議論を用いる：近似方程式の解が $ C^2 $ で元の方程式の解に収束する。これは $ u $ および $ 1/u $ に対する一様な $ C^{2,\alpha} $ 界を用いる。
• コンパクト性の結果は、$ M^n $ が標準球面 $ S^n $ と共形同値でない場合、定数 $ C $ が $ (M^n,g) $、$ V $、および $ \alpha $ のみに依存して、$ \|u\|_{C^{4,\alpha}} + \|u^{-1}\|_{C^{4,\alpha}} \leq C $ が成り立つことから導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュタウテンテンソルにどのような条件下で、コンパクトで局所的に共形平坦な多様体上での完全非線形共形不変方程式が解を持つのか。
• RQ2 古典的ヤマベ問題は、シュタウテンテンソルの対称関数を含む完全非線形設定に一般化可能か。
• RQ3 方程式 $ f(\lambda(A_{\hat{g}})) = 1 $ の解の存在およびコンパクト性について、錐 $ \Gamma $ および関数 $ f $ に必要な十分な条件は何か。
• RQ4 非球面的多様体上での完全非線形ヤマベ方程式の解に対して、リウヴィル性質は成立するか。

主な発見

• 本稿は、任意のコンパクトで滑らかで連結な局所的に共形平坦なリーマン多様体 $ (M^n,g) $ に対して、正の $ C^{4,\alpha} $ 解 $ u $ が方程式 $ f(\lambda(A_{\hat{g}})) = 1 $ に存在することを証明する。ここで $ \lambda(A_g) \in \Gamma(V) $ であり、$ V $ は対称的で凸な開集合で、$ \partial V \in C^{4,\alpha} $ である。
• $ M^n $ が標準 $ n $-次元球面と共形微分同相でない場合、すべての正の解は一様な $ C^{4,\alpha} $ 界を持つ：$ \|u\|_{C^{4,\alpha}} + \|u^{-1}\|_{C^{4,\alpha}} \leq C $ であり、定数 $ C $ は $ (M^n,g) $、$ V $、および $ \alpha $ のみに依存する。
• 著者らはリウヴィル型定理を確立する：同様の仮定の下で、$ M^n $ が $ S^n $ と共形同値でない場合、解が非自明に存在できるのは、計量がすでにターゲット錐 $ \partial V $ に属する場合に限る。
• 境界 $ \partial V $ が $ C^{2,\alpha} $ の場合、正定値の第二基本形式（厳密な凸性）の追加仮定のもとで、近似および収束の議論により一般化が可能である。
• 証明は事前推定および次数論に依拠し、解集合がコンパクトかつ非空であることを示し、近似解が元の方程式の解に収束することを示す。
• 本稿は、シュタウテンテンソルが錐 $ \Gamma(V) $ の内部にあるという仮定のもとで、滑らかさおよび凸性の仮定の下で、任意のコンパクトな $ n $ 次元リーマン多様体（局所的に共形平坦でなくてもよい）上で完全非線形ヤマベ問題が解を持つという予想を裏付ける。