[論文レビュー] On some curvature restricted geometric structures for projective curvature tensor

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン的および擬リーマン的多様体上の射影的曲率テンソル $ P $ によって定義される曲率制限付き幾何的構造を調査する。Walker型の恒等式の必要十分条件を確立し、Venzi $ P $-空間を特徴づける（定数曲率であるか、$ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $ を満たすことを示す）。また、(0,4)-テンソルに射影作用素を適用して得られる幾何的構造と、それに対応する(1,3)-テンソルの構造とは本質的に異なり、等価性には特定の条件を要する。主たる貢献は、$ P $ によって誘導される半対称および擬対称型構造の包括的分類であり、リーマン的状況では、これらの条件のいくつかが、アインシュタインまたは定数曲率を示すことを示している。

ABSTRACT

The projective curvature tensor $P$ is invariant under a geodesic preserving transformation on a semi-Riemannian manifold. It is well known that $P$ is not a generalized curvature tensor and hence it possesses different geometric properties than other generalized curvature tensors. The main object of the present paper is to study some semisymmetric type and pseudosymmetric type curvature restricted geometric structures due to projective curvature tensor. The reduced pseudosymmetric type structures for various Walker type conditions are deduced and the existence of Venzi space is ensured. It is shown that the geometric structures formed by imposing projective operator on a (0,4)-tensor is different from that for the corresponding (1,3)-tensor. Characterization of various semisymmetric type and pseudosymmetric type curvature restricted geometric structures due to projective curvature tensor is obtained on a Riemannian and a semi-Riemannian manifold, and it is shown that some of them reduce to Einstein manifold for the Riemann case. Finally to support our theorems four suitable examples are presented.

研究の動機と目的

• 半擬リーマン多様体上での射影的曲率テンソル $ P $ によって誘導される半対称および擬対称型曲率制限付き幾何的構造を調査すること。
• さまざまなWalker型恒等式に含まれる $ P $ に関する必要十分条件を導出し、対称性条件を一般化すること。
• Venzi $ P $-空間を特徴づけ、$ W\cdot W $ や定数曲率との関係を含めた曲率的性質を特定すること。
• 射影作用素 $ \mathscr{P}(X,Y) $ を(0,4)-テンソルに適用して得られる幾何的構造と、それに対応する(1,3)-テンソルの構造との違いを明確にすること。
• 複数の曲率条件 $ P\cdot R $, $ P\cdot S $, $ P\cdot \mathcal{S} $, $ P\cdot P $, $ P\cdot \mathcal{P} $ を分類・特徴づけ、それらがアインシュタイン多様体および定数曲率多様体に与える影響を同定すること。

提案手法

• さまざまなテンソル $ T $（例えば $ R $, $ S $, $ \mathcal{S} $, $ P $）に対して、コンmutator $ \mathscr{P}(X,Y)\cdot T $ を分析することにより、射影的曲率テンソル $ P $ に対するWalker型恒等式を導出する。
• 射影的曲率作用素 $ \mathscr{P}(X,Y) $ を(0,4)-テンソルおよびその(1,3)-対応物に適用し、得られる幾何的構造を比較し、等価性のための十分条件を導出する。
• テンソル的恒等式および曲率分解を用いて、$ P\cdot R = 0 $, $ P\cdot R = LQ(g,R) $, $ P\cdot S = 0 $, $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ および類似条件を分析し、多様体の幾何的性質に与える影響を同定する。
• 特定の計量を持つ半擬リーマン多様体の明示的例を用いて理論的結果を検証する。$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $, $ R\cdot R = \frac{1}{a}Q(g,R) $, $ P\cdot P = 0 $ を確認する。
• スカラー曲率およびリッチテンソルが、$ P $-誘導構造がアインシュタインまたは定数曲率を示すかどうかを決定する役割を果たすことを分析し、特にリーマン的状況での重要性を強調する。
• $ \mathscr{P}(X,Y) $ が縮約と可換であることは、多様体がアインシュタインであることと同値であり、射影作用素の振る舞いとグローバル曲率性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半擬リーマン多様体が射影的曲率テンソル $ P $ を含むWalker型恒等式を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ2 射影作用素 $ \mathscr{P}(X,Y) $ を(0,4)-テンソルに適用して得られる幾何的構造と、それに対応する(1,3)-テンソルの構造とはどのように異なるか。また、それらが等価となる条件は何か？
• RQ3 Venzi $ P $-空間を特徴づける曲率的性質は何か。また、定数曲率や $ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $ とはどのように関係するか？
• RQ4 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ または $ P\cdot \mathcal{S} = LQ(g,\mathcal{S}) $ が成り立つと、多様体がアインシュタインであることを示すにはどのような条件が必要か？
• RQ5 $ P\cdot R = 0 $, $ P\cdot R = LQ(g,R) $, $ P\cdot P = 0 $ などの曲率条件が、リーマン的および半擬リーマン的状況下での擬対称性およびアインシュタイン性とどのように関係するか？

主な発見

• Venzi $ P $-空間は、リーマン的状況では定数曲率多様体であり、半擬リーマン的状況では $ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $ を満たす。
• 射影作用素 $ \mathscr{P}(X,Y) $ を(0,4)-テンソルおよびその(1,3)-対応物に適用して得られる幾何的構造は本質的に異なる。等価性にはリッチテンソルを含む特定の条件が必要である。
• 構成例 $ M_3 $ において $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ が成り立ち、$ P\cdot S \neq 0 $ であるため、$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ が $ P\cdot S = 0 $ を示すとは限らない。
• リーマン的状況では、$ P\cdot R = 0 $, $ P\cdot S = 0 $, $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $, $ P\cdot P = 0 $, $ P\cdot \mathcal{P} = 0 $ のいずれかを満たすと、多様体はアインシュタインである。
• 例 $ M_4 $ は $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $, $ P\cdot R = 0 $, $ P\cdot S = 0 $ を満たし、スカラー曲率が定数でないため、$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ と $ P\cdot S = 0 $ が同時に成り立つとアインシュタイン構造が導かれる。
• $ M_3 $ において $ R\cdot R = \frac{1}{a}Q(g,R) $ が成り立つ。これは、定数型の擬対称多様体であり、したがって同時に共形的、射影的、同心的、共調和的擬対称性（定数型）を有する。