[論文レビュー] On some ergodicity properties for time inhomogeneous Markov processes with $T$-periodic semigroup

Reinhard Hoepfner, Eva Loecherbach|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、T周期的半群を有する時不変マルコフ過程、特にd次元拡散過程に対して、検証可能で十分な正のハリス再帰性の条件を確立する。リャプノフ関数手法とバリーによる非古典的遷移密度下界（非退化拡散に対しても適用可能）を組み合わせることで、漂移係数と拡散係数に基づく明示的かつ検証可能な基準を提示する。これは、退化または有界でない係数に対しても適用可能であり、加法的関数に対するエルゴード性および強大数法則の保証をもたらす。

ABSTRACT

We consider a time inhomogeneous strong Markov process $(ξ_t)_{t\ge 0}$ taking values in a Polish state space whose semigroup has a $T$-periodic structure. We give simple conditions which imply ergodicity of the grid chain $(ξ_{kT})_{k\in \mathbb{N}_0}$ In case of $d$-dimensional possibly degenerate diffusions, the conditions are stated in terms of drift and diffusion coefficient of the process.

研究の動機と目的

• T周期的半群を有する時不変マルコフ過程におけるTグリッド連鎖の正のハリス再帰性の十分条件を確立すること。
• 古典的エルゴード性結果を、退化または無限大に発散する可能性のある係数を有する拡散過程へと拡張すること。
• 漂移係数と拡散係数に基づく明示的かつ検証可能な基準を提示し、長期的安定性およびエルゴード的挙動を保証すること。
• 非定常的かつ周期的に時間依存する拡散過程において、加法的関数に対する強大数法則の適用を可能にすること。

提案手法

• マインとトゥイディのリャプノフ関数アプローチの枠組みを用いて、正のハリス再帰性を確立する。
• 非退化拡散に対しても適用可能なバリーの非古典的遷移密度下界を用い、コンパクト集合上での密度の一様正の性質を保証する。
• 漂移係数および拡散係数に対して、d+2階までの滑らかさと有界導出条件を課し、遷移密度の正則性と制御を確保する。
• コンパクト集合Kとその外部における漂移トレース項 2xᵀb(s,x) + tr(a(x)) の減衰率εに関する十分条件を導出する。
• 半群の時間周期性を用いて、全パス過程の解析をTグリッド上の時不変マルコフ連鎖に還元する。
• リャプノフ関数の存在を保証する、R, C₀, T, 維度依存定数を含む検証不等式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T周期的半群を有する時不変拡散過程におけるTグリッド連鎖が正のハリス再帰的であるための、漂移係数および拡散係数に関する条件は何か？
• RQ2 明示的かつ検証可能な基準を用いて、退化または無限大に発散する係数を有する拡散過程に対してもエルゴード性を確立できるか？
• RQ3 遷移密度の下界をどのように活用することで、時不変で周期的である拡散過程の再帰性を証明できるか？
• RQ4 半群の周期性が、全パス過程の解析をTグリッド上の時不変マルコフ連鎖に還元する際に果たす役割は何か？
• RQ5 非定常的かつ周期的に時間依存する拡散過程において、加法的関数に対する強大数法則を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、コンパクト集合Kとその外部における一様負の漂移トレース項 2xᵀb(s,x) + tr(a(x)) < -ε に基づく、Tグリッド連鎖の正のハリス再帰性（H）の十分条件を確立する。
• R, C₀, T, d, m を含む定量的検証不等式が、次元およびノイズ構造に明示的な依存関係を持つリャプノフ関数の存在を保証する。
• T周期的漂移を有するd次元拡散過程で、C^{d+2}有界導出を持つ場合、条件(6)と不等式(7)が同時に満たされれば、グリッド連鎖のエルゴード性が保証される。
• 拡散行列が退化（固有値が0をとる）である場合でも、本結果は適用可能であり、古典的な一様楕円性仮定を越えて拡張する。
• 本手法により、周期性とエルゴード性のもとで、∫₀ᵗ F(s,ξₛ)Λ_T(ds) の形をした加法的関数に対する強大数法則が可能になる。
• 幾何ブラウン運動の例により、原点付近で漂移が弱すぎる場合には条件が成立しないことが確認され、コンパクト集合条件の必要性が裏付けられる。