[論文レビュー] On some extremal problems in graph theory

Dmitry Jakobson, Igor Rivin|ArXiv.org|Jul 8, 1999

Graph theory and applications参考文献 42被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、girth、直径、ラプラシアン固有値、スパニングツリー数といった不変量を、重みなしおよび重み付きグラフの両方で分析することにより、極値グラフ理論の問題を調査する。重み付きグラフにおけるスパニングツリー数を最大化する貪欲なエッジ挿入アルゴリズムを用いて、すべての既知の(3,g)-cage（g ≤ 8）を自然に含む立方体グラフの系列を生成し、極値グラフ不変量と既知のcageグラフの間の構成的関係を示している。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with various graph invariants (girth, diameter, expansion constants, eigenvalues of the Laplacian, tree number) and their analogs for weighted graphs -- weighing the graph changes a combinatorial problem to one in analysis. We study both weighted and unweighted graphs which are extremal for these invariants. In the unweighted case we concentrate on finding extrema among all (usually) regular graphs with the same number of vertices; we also study the relationships between such graphs.

研究の動機と目的

• girth、直径、スパニングツリー数といった主要な不変量に関して、重み付きグラフ空間における局所的極値を示す未重み付きグラフを特定すること。
• 特にスパニングツリー数と、cage やラマヌジャングラフのような極値グラフ構造との関係を調査すること。
• スパニングツリー数を最大化するように段階的にエッジを挿入することで、極値立方体グラフを構成的に生成する手法を開発すること。
• 既知の(3,g)-cageが、四面体から始まる貪欲な立方体グラフ系列から自然に出現することを示すこと。
• スパニングツリー数を超えるグラフ不変量の最適化を用いて、新しい極値グラフを発見するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 各ステップで、得られるグラフにおけるスパニングツリー数を最大化するようにエッジを挿入する貪欲なアルゴリズムを用いる。
• 四面体（K₄）から出発し、各ステップで2つの新しい頂点とそれらを結ぶエッジを追加することで、2n-頂点の立方体グラフの系列を構築する。
• スパニングツリー数は、キルホフの行列木定理を用いて計算され、これは非ゼロのラプラシアン固有値の積に関連する。
• アルゴリズムを用いて立方体グラフの系列を生成し、girth や直径などの構造的性質について分析する。
• 特に18、24、30頂点の場合について、小さな次数を超えるグラフの系列を生成・検証するためにコンピュータプログラムを用いる。
• エッジの分割と完全マッチングを用いた構造的構成により、ペテルセン、ヒーホッド、トゥッテ＝コクサーのグラフといった既知のcageを、より小さい基本グラフから導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 girth、直径、スパニングツリー数といった不変量に関して、重み付きグラフ空間における局所的極値を示す未重み付きグラフはどれか？
• RQ2 スパニングツリー数を最大化する貪欲なエッジ挿入プロセスは、(3,g)-cageのような既知の極値グラフを生成できるか？
• RQ3 スパニングツリー数の漸近的成長率と、最初の非ゼロラプラシアン固有値といったスペクトル的性質との関係は何か？
• RQ4 エッジの分割と完全マッチングに基づく構成は、既知のcageグラフの出現とどのように関係しているか？
• RQ5 k ≥ 4 のk正則グラフに対しても、同様の貪欲なアルゴリズムを適用して、新しい極値グラフを発見できるか？

主な発見

• 四面体から始める貪欲なエッジ挿入によって生成された立方体グラフの系列には、10頂点のペテルセングラフ（g=5）、14頂点のヒーホッドグラフ（g=6）、24頂点のMcGeeグラフ（g=7）、30頂点のトゥッテ＝コクサー・グラフ（g=8）が含まれており、これらはそれぞれ(3,g)-cageに該当する。
• 系列における12頂点グラフ（ペテルセングラフにエッジ挿入を適用して得られる）は9800個のスパニングツリーを有し、12頂点の立方体グラフの中で最大の既知の数である。
• 8頂点グラフは392個のスパニングツリーを有するモビウス・ラッパーであり、6頂点グラフはK₃,₃であり、それぞれの頂点クラスにおいて最大であることが確認された。
• スパニングツリー数は急激に増加する：ペテルセングラフの2000から次のグラフの9800にまで増加し、貪欲ルール下での強い極値的挙動を示している。
• この構成法により、既知の(3,g)-cageがスパニングツリー数を最大化するプロセスの自然な結果として出現することを説明でき、それらの出現を統一的に説明する原理を示唆している。
• 著者らは、12頂点グラフおよび16頂点以上を持つ系列内のグラフが新発見であることを確認した一方、初期のグラフは既存の表と一致している。