[論文レビュー] On some free boundary problem of the Navier-Stokes equations in the maximal $L_p$-$L_q$ regularity class

Yoshihiro Shibata|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$2 < p < \infty$ および $N < q < \infty$ の条件下で、一様な $W^{2-1/q}_q$ 領域および弱いDirichlet-Neumann問題の可解性を仮定したもとで、非圧縮性Navier-Stokes方程式の自由境界問題について、時間的に局所的かつ大域的な一意存在定理を、最大 $L_p$-$L_q$ 正則性クラスにおいて確立する。主な貢献は、線形化問題の減衰定理に基づく、Solonnikovとは異なる新規な継続的議論によるものである。

ABSTRACT

This paper is concerned with the free boundary problem for the Navier Stokes equations without surface tension in the $L_p$ in time and $L_q$ in space setting with $2 &lt; p &lt; \infty$ and $N &lt; q &lt; \infty$. A local in time existence theorem is proved in a uniform $W^{2-1/q}_q$ domain in the $N$-dimensional Euclidean space ${\Bbb R}^N$ ($N \geq 2$) under the assumption that weak Dirichlet-Neumann problem is uniquely solvable. Moreover, a global in time existence theorem is proved for small initial data under the assumption that $Ω$ is bounded additionally. This was already proved by Solonnikov \cite{Sol1} by using the continuation argument of local in time solutions which are exponentially stable in the energy level under the assumption that the initial data is orthogonal to the rigid motion. We also use the continuation argument and the same orthogonality for the initial data. But, our argument about the continuation of local in time solutions is based on some decay theorem for the linearized problem, which is a different point than \cite{Sol1}.

研究の動機と目的

• 時間に関して $L_p$、空間に関して $L_q$ の設定で、$2 < p < \infty$ および $N < q < \infty$ の条件下で、Navier-Stokes方程式の自由境界問題について、時間的に局所的な一意存在定理を確立すること。
• 有界領域における初期データが小さい場合の、時間的に大域的な一意存在定理を証明すること。
• 線形化問題の減衰推定に基づく、局所解の継続的議論を提案し、Solonnikovのエネルギーレベルの安定性アプローチとは異なるものとする。
• 一般の $W^{2-1/q}_q$ 領域において、表面張力のない自由境界問題へ最大 $L_p$-$L_q$ 正則性理論を拡張すること。

提案手法

• 一様な $W^{2-1/q}_q$ 領域における線形化問題の最大 $L_p$-$L_q$ 正則性枠組みを用いる。
• 局所解の継続的議論に、エネルギーレベルの安定性ではなく、線形化系の減衰定理に依存する。
• Bourgainのフーリエ乗算子定理およびラプラス変換を用いて、関連する作用素族の解の推定を分析する。
• $L_q$ 空間およびソボレフ空間において有界作用素ノルムを持つ拡張作用素 $E$ を用いて、関数を領域から全空間へ拡張する。
• 自由境界 $S_t$ において、運動条件 $\partial_t F + (\mathbf{v} \cdot \nabla)F = 0$ を課し、$S_t$ 上の粒子がその上に留まるように保証する。
• 領域内における弱いDirichlet-Neumann問題の一意可解性を、主要な構造的仮定として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界Navier-Stokes問題について、$2 < p < \infty$ および $N < q < \infty$ の条件下で、最大 $L_p$-$L_q$ 正則性クラスにおいて、時間的に局所的な一意解を確立できるか？
• RQ2 初期データが小さい場合、局所解がどのような条件下で時間的に大域的へ拡張可能か？
• RQ3 線形化問題の減衰挙動が、初期存在時間以降の局所解の継続にどのように寄与するか？
• RQ4 $W^{2-1/q}_q$ 領域の正則性および弱いDirichlet-Neumann問題の可解性が、解の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 提案された継続的議論は、Solonnikovのエネルギーに基づく安定性アプローチとどのように異なるか？

主な発見

• 弱いDirichlet-Neumann問題の一意可解性を仮定したもとで、$2 < p < \infty$ および $N < q < \infty$ の条件下で、自由境界Navier-Stokes問題について、最大 $L_p$-$L_q$ 正則性クラスにおける時間的に局所的な一意存在定理が確立された。
• 有界領域における初期データが小さい場合、時間的に大域的な一意存在定理が証明され、Solonnikovによる先行結果が拡張された。
• 大域的解のための継続的議論は、線形化問題の減衰定理に基づくものであり、従来の研究で用いられたエネルギーレベルの安定性とは異なる新規な手法を提供する。
• $L_q$ およびソボレフノルムを保つように巧みに構築された拡張作用素 $E$ に依存する。これにより、全空間上でのフーリエ乗算子理論が適用可能になる。
• 線形化問題の減衰推定は、非線形項の制御および大域的解の反復スキームの収束を保証するために中心的な役割を果たす。
• この枠組みは、有界領域および摂動されたレイヤー型領域を含む一般の $W^{2-1/q}_q$ 領域に適用可能であり、提示された正則性および可解性仮定のもとで成立する。