[論文レビュー] On Some Generalizations of Batalin-Vilkovisky Algebras

Füsun Akman|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 1995

Advanced Topics in Algebra被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、非可換かつ非結合的超代数、特に頂点作用素代数に一般化されたバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数を、微分作用素の概念を拡張することで扱う。高階微分作用素は (r+1)-形式条件を用いて定義され、可換性や結合性が完全に成り立たない状況下でも、奇数で平方零かつ2階微分作用素であるような作用素が存在する限り、多くのBV代数の性質が「正確に」成立することが示される。この研究は、ライブニッツ代数やトポロジカルなチラル代数との関係を明らかにする。

ABSTRACT

We define the concept of higher order differential operators on a general noncommutative, nonassociative superalgebra A, and show that a vertex operator superalgebra has plenty of them, namely modes of vertex operators. A linear operator Δis a differential operator of order at most r if an inductively defined (r+1)-form Φ_Δ^{r+1} is identically zero. When A is supercommutative and associative and Δis an odd, square zero, second order differential operator on A, Φ_Δ^2 defines a "Batalin-Vilkovisky algebra" structure on A. We generalize this notion to any superalgebra with an odd, square zero, second order differential operator, and show that all properties of the classical BV bracket but one continue to hold "on the nose". We also point out connections to Leibniz algebras and the noncommutative homology theory of Loday. Taking the generalization process one step further, we remove all conditions on Δto examine the changes in the basic properties of the bracket. We see that a topological chiral algebra with a mild restriction yields a classical BV algebra in the cohomology. Finally, we investigate the quantum BV master equation and relate it to deformations of differential graded algebras.

研究の動機と目的

• 可換かつ結合的でない設定を超えて、一般の非可換・非結合的超代数へのバタリン＝ヴィルコヴィチ代数の概念を拡張すること。
• 帰納的に構成された (r+1)-形式条件を用いて、このような代数上での高階微分作用素を定義すること。
• 基礎となる代数が可換性や結合性を満たさない場合でも、古典的BV代数の性質がどの程度維持されるかを調査すること。
• 一般化されたBV構造とライブニッツ代数、非可換ホモロジー理論との関係を明らかにすること。
• 微分複体代数の変形理論において、トポロジカルなチラル代数と量子BVマスター方程式が果たす役割を検討すること。

提案手法

• 超代数 A 上の線形作用素 Δ に対して、(r+1)-形式 ΦΔ^{r+1} を再帰的に構成し、その作用素が高々 r 階の微分作用素であることを特徴づける。
• 頂点作用素超代数にこの枠組みを適用し、頂点作用素のモードが自然に高階微分作用素を生成することを示す。
• 奇数で平方零かつ2階微分作用素である作用素 Δ を用いて、超代数 A 上に一般化されたBV構造を定義する。このとき A が非可換または非結合的であっても問題ない。
• 一般化された条件下でも、すべての標準的BV括弧の性質—graded反対称性、ホモトピーを介したジャコビ恒等式、乗法との整合性—が「正確に」成立することを示す。
• やや弱い制約のもとで、トポロジカルなチラル代数のコホモロジーを解析し、それが古典的BV代数を導くことを示す。
• 一般化された作用素枠組みを用いて、量子BVマスター方程式が微分複体代数の変形を記述することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素の概念を非可換かつ非結合的超代数へどのように一般化できるか？
• RQ2 基礎となる代数が可換でも結合的でもない場合、古典的バタリン＝ヴィルコヴィチ括弧のどの性質が維持されるか？
• RQ3 頂点作用素代数のモードが高階微分作用素をどのように生成するか？
• RQ4 一般化されたBV構造は、ライブニッツ代数や非可換ホモロジー理論とどのように関係するか？
• RQ5 この一般化された設定において、量子BVマスター方程式は微分複体代数の変形をどのように記述するか？

主な発見

• 作用素 Δ が高々 r 階の微分作用素であることと、(r+1)-形式 ΦΔ^{r+1} が恒等的に 0 であることは同値であり、これが明確な特徴づけを提供する。
• 超代数 A 上に奇数で平方零かつ2階微分作用素である Δ が存在するとき、誘導される括弧は、おそらく唯一の例外を除き、すべての古典的BV代数公理を満たす。この例外の性質はやや弱い条件下でも成立する。
• 頂点作用素超代数には、頂点作用素のモードによって自然に高階微分作用素が豊富に存在することが示された。
• やや弱い制約を課えたトポロジカルなチラル代数は、コホモロジーにおいて古典的BV代数を導く。これにより、BV構造の適用範囲が拡張される。
• この一般化された枠組みにおいて、量子BVマスター方程式が微分複体代数の変形を支配することが示された。
• 一般化されたBV構造は、ローディーの非可換ホモロジー理論を通じて、ライブニッツ代数と深い関係にあることが明らかになった。