[論文レビュー] On some generalizations of real numbers representations

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Historical Geography and Cartography被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固定された基数 s と自然数の部分集合 NB を用いた符号付き交替展開を用いた実数の一般化された記数法を導入し、調査する。特定の区間 [x₀′, x₀′′] 内のすべての実数が少なくとも一つのこのような表現を持つことが示され、非一意性の状況は明示的な変換規則によって特徴づけられる。主な貢献は、NB に属するか否かに基づく符号の交替を示す符号付き級数を用いた表現とその曖昧性の完全な特徴づけである。

ABSTRACT

The article is devoted to introduce and investigation of new numeral systems. These representations are generalizations of classical representations of real numbers. The main properties of investigating representations are described. The results are represented in International Conference of Yung Mathematicians, June 3-6, 2015, Kyiv.

研究の動機と目的

• 古典的な表現を拡張する新しい一般化された記数法の開発と分析。
• 基数 s とインデックスの部分集合 NB を用いた交替符号付き級数による実数の表現が成立する条件の調査。
• このようなシステムを用いて表現可能な実数の集合の特徴づけと、表現が一意であるか曖昧であるかの条件の特定。
• 変換関数を用いて、これらの一般化された表現と標準的な s 進展開との間の対応関係を確立。

提案手法

• 固定された基数 s > 1 と自然数の厳密に増加する列 B = (bn) を用いた準負の s 展開の概念を導入。
• 符号関数 δn = 1（n ∈ NB のとき）、δn = 2（それ以外のとき）を定義し、x = ∑(−1)δn αn / sⁿ（αn ∈ {0, 1, ..., s−1}）の級数を導入。
• 極小値 x₀′ と極大値 x₀′′ を、極端な桁の列 βn と γn を用いて表す。
• NB に属するか否かに基づく再帰的区間分割とケース解析を用いて、すべての x ∈ [x₀′, x₀′′] に対して表現が存在することを証明。
• 準負の s 展開に ∑(s−1)/sᵇⁿ を加えると標準的な s 進展開が得られることを示す変換補題を導入。
• n と n+1 が両方 NB に属するか、その他の組み合わせにおいて桁が異なる表現を比較することで、非一意性の明示的条件を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの実数 x に対して、δn が NB への属するかによって定義される系列 (αn) が存在し、x = ∑(−1)δn αn / sⁿ を満たすか？
• RQ2 基数 s と部分集合 NB に依存する表現可能な実数の範囲は何か？
• RQ3 実数が複数のこのような表現を持つ条件は何か？
• RQ4 表現の非一意性を体系的に特徴づけ・分類する方法は何か？
• RQ5 これらの一般化された表現と標準的な s 進展開との関係は何か？

主な発見

• 再帰的区間分割とケース解析により、証明されたように、区間 [x₀′, x₀′′] 内のすべての実数が少なくとも一つの準負の s 展開を持つ。
• 極小値 x₀′ は、n ∈ NB のとき βn = s−1、それ以外のとき βn = 0 である系列によって達成され、極大値 x₀′′ は、n ∉ NB のとき γn = s−1、それ以外のとき γn = 0 である系列によって達成される。
• 非一意性は、連続するインデックス n と n+1 が NB に属するか否かに依存する4つの状況に限定され、明示的な変換規則が提示されている。
• 変換補題により、直接的な対応関係が確立されている：準負の s 展開に ∑(s−1)/sᵇⁿ を加えると、標準的な s 進展開が得られる。
• 非一意性の4つの状況は、NB に属する位置での s−1−αn と、隣接する位置での 0 または s−1 を含む桁単位の変換によって完全に特徴づけられる。
• これらの一般化された表現の距離的およびフラクタル的性質は、標準的な s 進展開と同一である。