[論文レビュー] On Some Geometric Properties Of Sequence Space Defined By de la Vallee-Poussin Mean

Necip Şi̇mşek|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、de la Vallée-Poussin平均を用いて定義される系列空間 $ V_p(\lambda) $ の幾何的性質を調査し、$ 1 < p < \infty $ において $ k $-ほぼ一様凸（$ k\text{-NUC} $）および一様Opial性質を満たすことを証明している。主な貢献は、これらの幾何的特性を用いて、完備性、UKK性、および厳密凸性を確立することにある。

ABSTRACT

In this work, we investigate k-nearly uniform convex(k-NUC) and the uniform Opial properties of the sequence space defined by de la Vallee-Poussin mean. Also we give some corollaries concerning the geometrical properties of this space.

研究の動機と目的

• de la Vallée-Poussin平均を用いて定義される系列空間 $ V_p(\lambda) $ の幾何的構造を分析すること。
• $ V_p(\lambda) $ が $ k $-ほぼ一様凸（$ k\text{-NUC} $）性質を満たすかどうかを特定すること。
• $ V_p(\lambda) $ が一様Opial性質を有するかどうかを検討すること。
• 幾何的特性に基づいて、完備性、UKK性、および厳密凸性に関する系を導出すること。

提案手法

• 空間 $ V_p(\lambda) $ は、正の実数列 $ \lambda = (\lambda_n) $ を用いた de la Vallée-Poussin平均を用いて定義される。
• $ k\text{-NUC} $ 性質は、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \delta > 0 $ が存在し、単位球内の $ \varepsilon $-分離列に対して、$ k $ 個の要素の平均のノルムが $ 1 - \delta $ 未満になることを示すことによって確認される。
• 一様Opial性質は、単位球面上の弱収束列 $ \{x_m\} $ と任意の $ x \in X $ に対して $ \|x\| \geq \varepsilon_0 $ が成り立つとき、$ \|x_m + x\| $ の極限下限が一様に 1 を超えることを証明することで確立される。
• 和および差のノルムの推定に、$ \ell^p $-ノルムと三角不等式を用いる。
• 証明は、弱収束列の構成と、切断およびノルム分解技術を用いた単位球内での挙動の推定に依存する。
• 完備性、UKK、および厳密凸性といったバナッハ空間の性質に関する関数解析の理論的結果が、系の導出に応用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 1 < p < \infty $ において、de la Vallée-Poussin平均によって定義される系列空間 $ V_p(\lambda) $ は $ k $-ほぼ一様凸性を満たすか？
• RQ2 $ 1 < p < \infty $ において、$ V_p(\lambda) $ は一様Opial性質を有するか？
• RQ3 $ k\text{-NUC} $ および一様Opial性質の幾何的構造への影響は何か？
• RQ4 $ V_p(\lambda) $ は完備であるか？ また、UKK性質を満たすか？
• RQ5 $ k\text{-NUC} $ 性質は、$ V_p(\lambda) $ が完全に $ k $-厳密凸かつ厳密凸であることを示唆するか？

主な発見

• $ V_p(\lambda) $ はすべての整数 $ k \geq 2 $ および $ 1 < p < \infty $ に対して $ k $-ほぼ一様凸（$ k\text{-NUC} $）性質を満たす。
• $ V_p(\lambda) $ は一様Opial性質を有する。これは、任意の弱収束列 $ \{x_m\} $ と任意の $ x \in X $ に対して $ \|x\| \geq \varepsilon_0 $ が成り立つとき、$ \liminf_{m \to \infty} \|x_m + x\| \geq 1 + \varepsilon_0/2 $ が成り立つことを意味する。
• $ k\text{-NUC} $ 性質の結果として、$ V_p(\lambda) $ は完備である。なぜなら、$ k\text{-NUC} $ は $ \text{NUC} $ を含み、$ \text{NUC} $ は完備性を含むからである。
• $ V_p(\lambda) $ は一様Kadec-Klee（UKK）性質を満たす。なぜなら、$ k\text{-NUC} $ は $ \text{NUC} $ を含み、$ \text{NUC} $ 空間は既知のUKK性質を有するからである。
• $ V_p(\lambda) $ はすべての $ k \geq 2 $ に対して完全に $ k $-厳密凸（$ kR $）である。なぜなら、$ k\text{-NUC} $ は $ kR $ を含むからである。
• $ V_p(\lambda) $ は厳密凸である。なぜなら、$ kR $ は厳密凸性を含み、空間はすべての $ k \geq 2 $ に対して完全に $ k $-厳密凸であるからである。