[論文レビュー] On some geometric representations of GL(n,O)

Uri Bader, Uri Onn|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非アーベル局所体の整数環 $\mathfrak{o}$ に関する $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ のグラスマン多様体表現に関連するヘッケ代数の幾何的基底と代数的基底の間の明示的移行行列を計算する。主な結果として、$p$-進多変数ヤコビ関数—ヘッケ代数内の最小のイデアル元—が代数的基底として特定され、移行行列は $\mathfrak{o}$-格子の組合せ的不変量に符号化されている。

ABSTRACT

We study a family of complex representations of the group GL(n,O), where O is the ring of integers of a non-archimedean local field F. These representations occur in the restriction of the Grassmann representation of GL(n,F) to its maximal compact subgroup GL(n,O). We compute explicitly the transition matrix between a geometric basis of the Hecke algebra associated with the representation and an algebraic basis which consists of its minimal idempotents. The transition matrix involves combinatorial invariants of lattices of submodules of finite O-modules. The idempotents are p-adic analogs of the multivariable Jacobi polynomials.

研究の動機と目的

• 非アーベル局所体 $F$ における $\mathrm{GL}_n(F)$ のグラスマン表現をその最大コンパクト部分群 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ に制限すること。
• 空間 $\mathcal{S}(\mathrm{Gr}(m,n,F))$ が $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 作用でどのように既約表現に分解されるかを解析すること。
• $\mathrm{Hecke}$代数 $\mathcal{H}_m$ において、幾何的基底（二重コセットの特性関数）と代数的基底（最小のイデアル元）の間の移行行列を計算すること。
• $p$-進多変数ヤコビ関数がヘッケ代数の基底をなしており、古典的ヤコビ多項式の $p$-進類似であることを確立すること。

提案手法

• $I_\ell$-不変部分空間による $\mathcal{S}(\mathrm{Gr}(m,n,F))$ のフィルトレーションを用い、無限次元問題を有限群 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o}_\ell)$ に還元する。
• $\mathrm{Gr}(m,n,\mathfrak{o}_\ell)$ を $\mathbb{C}(\mathrm{Gr}(m,n,\mathfrak{o}_\ell))$ と同一視し、それら上の $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o}_\ell)$-作用を分析する。
• $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 上の $P_x$-双不変関数の畳み込み代数としてヘッケ代数 $\mathcal{H}_m$ を構成し、二重コセットの特性関数によって与えられる幾何的基底を定義する。
• 唯一の $P_x$-球対称ベクトル $e_\lambda^F$ を用いて代数的基底を定義し、$\mathcal{H}_m$ 内の最小のイデアル元となるように正規化する。
• ランクおよび商の次元の公式などの格子論的道具を用い、部分加群の組合せ的不変量を介して移行行列の成分を計算する。
• 中島の補題および $\mathfrak{p}^i$- torsion を含む完全列を用い、モジュールのタイプ $\tau$ とその構造の関係を確立し、移行行列の成分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッケ代数 $\mathcal{H}_m$ の幾何的基底と代数的基底の間の移行行列は、格子不変量にどのように依存するか。
• RQ2 $p$-進多変数ヤコビ関数の正確な組合せ的構造は、格子部分加群の観点からどのように記述できるか。
• RQ3 ヘッケ代数内の最小のイデアル元は、$\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ の二重コセット構造とどのように関係するか。
• RQ4 $p$-進ヤコビ関数は、$q$-ハーン多項式および古典的ヤコビ多項式をどのように一般化するか。
• RQ5 格子部分加群のタイプ $\tau$ と $\mathfrak{p}$- torsion データのみを用いて、移行行列を明示的に計算できるか。

主な発見

• 定理7で、幾何的基底（二重コセットの特性関数）と代数的基底（最小のイデアル元 $e_\lambda^F$）の間の移行行列が明示的に計算されている。
• 最小のイデアル元 $e_\lambda^F$ は、$p$-進多変数ヤコビ多項式の $p$-進類似として特定され、グラスマン表現における $P_x$-球対称ベクトルとして現れる。
• 行列成分は、特に有限 $\mathfrak{o}$-加群の部分加群 $x,y$ に対して $\mathrm{dim}\left(\frac{\mathfrak{p}x \cap \mathfrak{p}y}{\mathfrak{p}(x \cap y)}\right)$ として与えられる格子部分加群の組合せ的不変量に依存する。
• 移行行列は、タイプ $\tau(x)$, $\tau(y)$, $\tau(x+y)$ のみに依存し、$\mathrm{rk}(x+y) = \mathrm{rk}(x)$ かつ $x+y$ が $x$ を被覆するという条件下で定まる。
• $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ の表現理論と $\mathfrak{o}$-格子の組合せ論の間の明確な関係が確立され、ヘッケ代数 $\mathcal{H}_m$ の構造は二重コセット幾何と $\tau$ や $\mathfrak{p}$- torsion などのモジュール論的不変量の相互作用によって完全に記述される。
• 本結果により、$\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ の表現論と $\mathfrak{o}$-格子の組合せ論の間の明確なリンクが確立され、古典的直交多項式および $q$-多項式系の一般化が達成された。