[論文レビュー] On Some Geometrical Aspects of Space-Time Description and Relativity

Rolf Dahm|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Relativity and Gravitational Theory参考文献 43被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$\ mathbb{P}^5$ の射影幾何学に時空対称性を埋め込み、線幾何学およびPlücker-Kleinの二次曲面を用いて、ローレンツ変換とスピン表現を再定式化することで、一般相対性理論と量子場理論の幾何学的統一を提案する。従来のテンソル的および4ベクトル形式から、$\ mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ を基礎とするLie代数的枠組みへと置き換える。ローレンツブーストと電磁場が、二次曲面の自己同型として自然に生じることを示し、古典的射影幾何学に根ざした、より深く一般性の高い相対論的表現論の基盤を提供する。

ABSTRACT

In order to ask for future concepts of relativity, one has to build upon the original concepts instead of the nowadays common formalism only, and as such recall and reconsider some of its roots in geometry. So in order to discuss 3-space and dynamics, we recall briefly Minkowski's approach in 1910 implementing the nowadays commonly used 4-vector calculus and related tensorial representations as well as Klein's 1910 paper on the geometry of the Lorentz group. To include microscopic representations, we discuss few aspects of Wigner's and Weinberg's 'boost' approach to describe 'any spin' with respect to its reductive Lie algebra and coset theory, and we relate the physical identification to objects in $P^{5}$ based on the case $(1,0)\oplus(0,1)$ of the electromagnetic field. So instead of following this -- in some aspects -- special and misleading 'old' representation theory, based on 4-vector calculus and tensors, we provide and use an alternative representation based on line geometry which -- besides comprising known representation theory -- is capable of both describing (classical) projective geometry of 3-space as well as it yields spin matrices and the classical Lie transfer. In addition, this geometry is capable of providing a more general route to known Lie symmetries, especially of the su(2)$\oplus$i~su(2) Lie algebra of special relativity, as well as it comprises gauge theories and affine geometry. Thus it serves as foundation for a future understanding of more general representation theory of relativity based, however, on roots known from classical projective geometry and $P^{5}$. As an application, we discuss Lorentz transformations in point space in terms of line and Complex geometry, where we can identify them as...

研究の動機と目的

• 標準的な4ベクトルおよびテンソル形式を超えて、古典的射影幾何学に根ざした相対論的表現論を再定式化すること。
• 時空対称性、スピン、ゲージ理論の記述を、$\mathbb{P}^5$ の幾何学およびPl\
• ローレンツ変換および相対論的角運動量演算子が、Pl\
• 4次元の二次曲面および線の複合体に対して、四重の斉次座標を用いて非局所的で幾何学的に整合性のある演算子形式を提供すること。
• $\mathbb{P}^5$ における線幾何学および同相空間論を用いて、ウィグナーおよびワインバーグの「任意スピン」表現を一般化し、従来のテンソルに基づく手法の制限を回避すること。

提案手法

• Pl\
• 線幾何学およびPl\
• 二次曲面上に作用する非局所的演算子$L_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}\left( x_\alpha \frac{\partial}{\partial y_\beta} - x_\beta \frac{\partial}{\partial y_\alpha} \right)$ を導出し、線座標$p_{\alpha\beta}$ を表現することで、運動量および角運動量の概念を一般化する。
• $\mathfrak{so}(4)$ のLie代数と線演算子の交換子代数の間の対応関係を確立し、$[L_{\alpha\beta}, L_{\gamma\delta}]$ が $\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ に類似した構造に閉じることを示す。
• 電磁場を$\mathbb{P}^5$ における$(1,0) \oplus (0,1)$表現として再解釈し、射影幾何学における線複合体の特別なケースとして特定する。
• 古典的射影幾何学からの転送原理を用いて、標準的な相対性理論形式を一般化し、座標中心の視点を線や複合体といった幾何学的基底要素へと置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pl\
• RQ2 線幾何学および$\mathbb{P}^5$ を用いた相対論的角運動量演算子$M_{\mu\nu}$ の幾何学的起源は何か？
• RQ3 特に「任意スピン」について、標準的な表現論が線幾何学およびPl\
• RQ4 非局所的演算子$L_{\alpha\beta}$ が二次曲面上に作用するとき、$\mathfrak{so}(4)$ や$\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ といった既知のLie代数構造がどのように再現されるか？
• RQ5 Pl\

主な発見

• ローレンツ変換は、Pl\
• 線演算子$L_{\alpha\beta}$ の交換子代数は、$\mathfrak{so}(4)$ に同型であることが判明し、交換子$[L_{\alpha\beta}, L_{\gamma\delta}]$ が$L_{\rho\sigma}$ 演算子の組み合わせに閉じることを確認した。これにより、$\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ のLie代数構造が裏付けられた。
• 電磁場は、$(1,0) \oplus (0,1)$ 表現として、$\mathbb{P}^5$ 内の特定の線複合体に対応しており、場強度テンソルの幾何学的解釈が得られた。
• 2点$x$ および$y$ を二次曲面上にとる非局所的演算子$L_{\alpha\beta}$ は、線座標$p_{\alpha\beta} = x_\alpha y_\beta - x_\beta y_\alpha$ を生成し、幾何学的枠組みの中で運動量の概念を一般化した。
• 標準的な4ベクトル形式は、より広範な射影幾何学的枠組みの特別なケースであることが示された。Pl\
• 本稿は、通常のテンソル的および4ベクトル形式の相対性理論が、$\mathbb{P}^5$ に基づくより一般の幾何学的構造に埋め込まれていることを示し、古典的射影幾何学を介して相対性理論とゲージ理論のより深い統一が可能であることを示唆している。