[論文レビュー] On some inequalities for different kinds of convexity

Merve Avcı Ardıç, M. Emіn Özdemіr|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、合成 $f \circ \varphi$ の分析を通じて、$\varphi_s$-凸、$\varphi$-Godunova-Levin、$\varphi$-$P$、および $\varphi$-擬凸関数を含む、さまざまな一般化凸関数に対する新しい不等式を確立する。$\varphi$（線形性または凸性）および $f$（単調性）に特定の条件下で、合成関数は一般化凸性の性質を継承することが示され、それに伴い、関連する積分的および重み付き不等式を有する新しい $\varphi$-擬凸関数のクラスが導入される。

ABSTRACT

In this paper, we obtained some inequalities for ϕ_{s}-convex function, ϕ-Godunova-Levin function, ϕ-P-function and log-ϕ-convex function. Finally, we defined the class of ϕ-quasi-convex functions and we examined some properties of this class.

研究の動機と目的

• 変換 $\varphi$ を含む一般化された関数クラスへの古典的凸不等式の拡張を図ること。
• 関数 $f$ が特定の一般化凸性クラスに属する場合、合成 $f \circ \varphi$ の挙動を調査すること。
• 新しい関数クラス、すなわち $\varphi$-擬凸関数の定義と分析を行うこと。
• これらの一般化凸関数に対する新しい積分的および重み付き不等式を導出すること。
• $f \circ \varphi$ が $f$ および $\varphi$ の凸性の性質をどのように継承するかの十分条件を確立すること。

提案手法

• 関数 $\varphi$ と制御関数 $h$ を用いて、$\varphi_h$-凸性を含む一般化凸性クラスを定義する。
• 関数 $f(t\varphi(x) + (1-t)\varphi(y)) \leq \max\{f(\varphi(x)), f(\varphi(y))\}$ を満たす新しいクラスとして $\varphi$-擬凸性を導入する。
• $\varphi_s$-凸および $\varphi$-Godunova-Levin 関数に対する重み付き不等式を証明するために、数学的帰納法と再帰的代入を用いる。
• $f$ および $\varphi$ に対する単調性および凸性の仮定を適用して、合成の性質を導出する。
• 変数変換と $[0,1]$ 上での積分を用いて、不等式を積分形に変換する。
• 凸結合の構造と重みの正規化（$\sum t_i = 1$）を活用して、結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f$ が $\varphi_s$-凸であるとき、$\varphi$ が線形であれば、合成 $f \circ \varphi$ は第二の意味での $s$-凸性を保つ条件は何か？
• RQ2 $f$ が $\varphi$-Godunova-Levin 性質を持つ場合、$\varphi$ が線形または凸であると、$f \circ \varphi$ の挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 $\varphi$-擬凸性が、$[\varphi(x), \varphi(y)]$ 上での $f$ の積分平均に与える影響は何か？
• RQ4 再帰的分解を用いて、$\varphi_s$-凸および $\varphi$-Godunova-Levin 関数に対して重み付き不等式を確立できるか？
• RQ5 $f$ の単調性と $\varphi$ の凸性が、合成における一般化凸性の保存にどのように作用するか？

主な発見

• 関数 $f$ が $\varphi_s$-凸であり、$\varphi$ が線形であれば、$f \circ \varphi$ は第二の意味での $s$-凸性を有する。
• 関数 $f$ が $\varphi_s$-凸であり、単調増加であり、$\varphi$ が凸であれば、$f \circ \varphi$ は第二の意味での $s$-凸性を有する。
• $\varphi_s$-凸関数 $f$ および和が 1 である重み $t_i$ に対して、$f\left(\sum t_i \varphi(x_i)\right) \leq \sum t_i^s f(\varphi(x_i))$ が成り立つ。
• 関数 $f$ が $\varphi$-Godunova-Levin であり、$\varphi$ が線形であれば、$f \circ \varphi$ は擬凸関数のクラス $Q(I)$ に属する。
• $\varphi$-擬凸関数 $f$ に対して、不等式 $\frac{1}{\varphi(y)-\varphi(x)}\int_{\varphi(x)}^{\varphi(y)} f(u) du \leq \max\{f(\varphi(x)), f(\varphi(y))\}$ が成り立つ。
• $\varphi$-擬凸関数 $f$ および和が 1 である重み $t_i$ に対して、$f\left(\sum t_i \varphi(x_i)\right) \leq \max_{1 \leq i \leq n} f(\varphi(x_i))$ が成り立つ。