[論文レビュー] On some integrals involving the Hurwitz zeta function: part 2

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|Jul 11, 2001

Advanced Mathematical Identities参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Hurwitzゼータ関数およびその関連特殊関数（多ディガンマ関数、対数ガンマ関数、対数正弦関数など）を含む不定積分の明示的公式を導出する。部分積分と非正整数におけるHurwitzゼータ関数の微分の性質を用いて、著者らは $ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $ の族を導入し、$ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $、多ディガンマ関数を含む積分の閉形式評価を可能にする。これは、先行研究の結果を拡張し、新たな解析的表現と定積分評価を提供する。

ABSTRACT

We establish a series of indefinite integral formulae involving the Hurwitz zeta function and other elementary and special functions related to it, such as the Bernoulli polynomials, ln sin (πq), ln Gamma(q) and the polygamma functions. Many of the results are most conveniently formulated in terms of a family of functions A_k(q):=k zeta'(1-k,q), where k is a natural number, and a family of polygamma functions of negative order, whose properties we study in some detail.

研究の動機と目的

• 定積分にとどまらず、不定積分へのHurwitzゼータ関数を含む積分の評価を拡張すること。
• 自然数 $ k \in \mathbb{N} $ に対して、$ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $ として定義される関数族を導入・研究し、負の整数におけるゼータ関数の微分を一般化すること。
• 関数 $ A_k(q) $ の性質を用いて、$ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $、多ディガンマ関数の積分に対する閉形式表現を導出すること。
• [7] で知られている定積分評価を、新しい不定積分フレームワークを用いて再導出し・拡張すること。

提案手法

• 積分 $ \int f(q)\zeta(z, a + bq)\,dq $ に対して部分積分を適用し、微分恒等式 $ \frac{\partial}{\partial q}\zeta(z-1, a + bq) = b(1-z)\zeta(z, a + bq) $ を活用する。
• 関数 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ を中心的な道具として導入し、$ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $、ネガディガンマ関数を含む積分を表現する。
• Hurwitzゼータ関数のフーリエ表現および積分表現を用いて恒等式と漸近的挙動を導出する。
• ガンマ関数の相反公式およびLerchの恒等式 $ \ln\Gamma(q) = \zeta'(0,q) - \zeta'(0) $ を用い、ゼータ関数の微分と対数ガンマ積分を関連付ける。
• リーマンゼータ関数の関数等式を適用し、$ \zeta'(-1) $ を $ \zeta'(2) $ で表すことで、定積分における定数の評価を可能にする。
• 対称性および特別値を用いて、$ [0,1] $ や $ [0,1/2] $ などの区間で不定積分を評価することにより、新たな定積分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分積分とパrameter微分を用いて、Hurwitzゼータ関数 $ \zeta(z, q) $ を含む不定積分を閉形式で評価する方法は何か？
• RQ2 関数 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ は、$ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $、多ディガンマ関数の積分を簡略化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 不定積分フレームワークを用いて、既知の定積分評価 $ \int_0^1 q^n \zeta(z,q)\,dq $ 及び類似形式を再導出し・一般化できるか？
• RQ4 負の整数における $ \zeta'(z,q) $ の性質は、ネガディガンマ関数および対数ガンマ関数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 区間 $ [0,1] $ や $ [0,1/2] $ で不定積分を評価すると、特に $ \ln\sin(\pi q) $ や $ \ln\Gamma(q) $ に対してどのような新たな定積分恒等式が得られるか？

主な発見

• 不定積分 $ \int q^n \zeta(z, a + bq)\,dq $ は、Pochhammer記号 $ (1-z)_k $ に依存する係数を伴う、$ \zeta(z-k, a + bq) $ の有限和として表され、$ n \in \mathbb{N}_0 $ に対して有効である。
• 関数 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ が導入され、$ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $、ネガディガンマ関数の積分評価において不可欠であることが示された。
• $ \int_0^1 q^n \ln\sin(\pi q)\,dq $ に対しては、$ -\frac{\ln 2}{n+1} + n!\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k \zeta(2k+1)}{(2\pi)^{2k}(n+1-2k)!} $ が得られ、$ n=1,2,3 $ に対して明示的な値が得られる。
• 積分 $ \int_0^1 (\ln\Gamma(q))^2\,dq $ は、$ \frac{\gamma^2}{12} + \frac{\pi^2}{48} + \frac{1}{3}\gamma\ln\sqrt{2\pi} + \frac{4}{3}\ln^2\sqrt{2\pi} - \frac{\gamma + 2\ln\sqrt{2\pi}}{\pi^2}\zeta'(2) + \frac{\zeta''(2)}{2\pi^2} $ として評価され、既知の結果を確認した。
• 積分 $ \int_0^1 \psi^{(-k)}(q)\psi^{(-k')}(q)\,dq $ は、$ \frac{2\cos\left(\frac{(k-k')\pi}{2}\right)}{(2\pi)^{k+k'}}\left[ \zeta''(k+k') - 2(\gamma + \ln 2\pi)\zeta'(k+k') + \left( (\gamma + \ln 2\pi)^2 + \frac{\pi^2}{4} \right)\zeta(k+k') \right] $ として導出され、$ k,k' \in \mathbb{N} $ に対して有効である。