[論文レビュー] On some lower bounds on the number of bicliques needed to cover a bipartite graph

Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2007

graph theory and CDMA systems参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は二部グラフのバイクリー被覆数に関する下界の階層を確立し、Jukna-Kulikovの下界（jk）が常に妨害集合下界（fool）以下であり、さらにその上界が無限大のテンソル冪妨害集合下界（fool^∞）であり、最終的に同じスパーサイトを持つすべての行列の最小ランクの二乗によって上から抑えられることを証明する。主な貢献は、妨害集合下界がブールランクの log₄6 ≈ 1.2924 乗を超えるような、新たなグラフ族の構成であり、これにより従来の構成を改善した。

ABSTRACT

The biclique covering number of a bipartite graph G is the minimum number of complete bipartite subgraphs (bicliques) whose union contains every edge of G. In this little note we compare three lower bounds on the biclique covering number: A bound jk(G) proposed by Jukna & Kulikov (Discrete Math. 2009); the well-known fooling set bound fool(G); the "tensor-power" fooling set bound fool^\infty(G). We show jk \le fool le fool^\infty \le min_Q (rk Q)^2, where the minimum is taken over all matrices with a certain zero/nonzero-pattern. Only the first inequality is really novel, the third one generalizes a result of Dietzfelbinger, Hromkovič, Schnitger (1994). We also give examples for which fool \ge (rk)^{log_4 6} improving on Dietzfelbinger et al.

研究の動機と目的

• バイクリー被覆数に関する3つの既知の下界、すなわち jk(G)、fool(G)、fool^∞(G) を比較・関連付けること。
• Jukna-Kulikovの下界（jk）が常に妨害集合下界（fool）以下であることを証明すること。これは本稿の新規貢献である。
• 妨害集合下界がランクの二乗を上回るような無限グラフ族を構成することで、既存の下界を改善すること。特に、指数 log₄6 において、ランクの二乗を上回る成長を示す。
• Dietzfelbinger らの結果を一般化し、fool^∞(G) ≤ min_Q (rk Q)² を示すこと。ここで Q は G と同じスパーサイトを持つすべての行列である。
• すべての二部グラフに対して bc(G) ≤ (max_Q rk Q)² × log|G| が成り立つと仮説を立てること。これはランクに基づく下界のタイトネスの可能性を示唆する。

提案手法

• G の辺を頂点とするグラフ X(G) を定義する。G の辺のペアが完全二部部分グラフを形成しない場合に、それらの頂点間に辺を張る。
• χ(X(G)) がバイクリー被覆数 bc(G) に等しく、ω(X(G)) が妨害集合下界 fool(G) に等しいことを証明する。
• Turán の定理を用いて、G の辺が少ない部分グラフ H に完全マッチングが存在する場合、X(G) に大きなクリークが存在することを示し、これにより fool(G) に対する |H| と ||H|| を用いた下界を得る。
• テンソル冪技法を適用する。行列 M に対して M^⊗j を考え、j → ∞ のとき fool(M^⊗j)^(1/j) → fool^∞(M) であることを用いる。
• ランク分解 Q = XY を用いて、直交性を示すテンソル x_i ⊗ y_i を介して、妨害集合の辺数が (rk Q)² 以下であることを示す。
• ランク ≤ 4 で妨害集合サイズが 6 である 6×6 行列 M を構成し、M^⊗k のテンソル冪を用いて fool(M^⊗k) ≥ (rk(M^⊗k))^{log₄6} を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jukna-Kulikovの下界（jk）は常にバイクリー被覆数の有効な下界であり、妨害集合下界（fool）と比べてどうなるか？
• RQ2 妨害集合下界（fool）はブールランクの二乗を厳密に上回り得るか？ もしそうなら、どの程度上回るか？
• RQ3 テンソル冪妨害集合下界（fool^∞）は、スパーサイトが等しい行列の最小ランクの二乗よりも、バイクリー被覆数に対するよりタイトな上界を与えるか？
• RQ4 これまでに知られている指数よりも高い指数で、妨害集合下界がブールランクを上回るような無限グラフ族を構成できるか？
• RQ5 本稿で提起されたように、すべての二部グラフに対して bc(G) ≤ (max_Q rk Q)² × log|G| が成り立つのか？

主な発見

• 本稿は、jk(G) ≤ fool(G) ≤ fool^∞(G) ≤ min_Q (rk Q)² を証明し、バイクリー被覆数に関する下界の階層を確立した。
• jk(G) が常に妨害集合下界以下であることが示され、これは従来の文献では示されていなかった新規な結果である。
• 本稿は、fool(G_k) ≥ rk(M(G_k))^{log₄6} を満たす無限グラフ族 (G_k) を構成した。ここで log₄6 ≈ 1.2924 であり、以前の指数 log₃4 ≈ 1.262 よりも向上した。
• テンソル冪技法を用いて、fool^∞(G) ≤ min_Q (rk Q)² を示し、Dietzfelbinger ら（1994年）の結果を一般化した。
• fool(M) = 6 かつ rk(M) ≤ 4 である行列 M の構成により、M^⊗k に対して fool(M^⊗k) ≥ 6^k かつ rk(M^⊗k) ≤ 4^k が成り立ち、結果として指数 log₄6 の向上が得られた。
• 著者らは、bc(G) ≤ (max_Q rk Q)² × log|G| が成り立つと仮説を立てており、これはランクに基づく下界が対数的要因を除いてタイトである可能性を示唆する。