[論文レビュー] On some multicolour Ramsey properties of random graphs

Andrzej Dudek, Paweł Prałat|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ランダムグラフにおける多重色サイズ-ラマーリー数の境界を改善し、$ r \geq 2 $ に対して、$ pn \to \infty $ である almost surely (a.a.s.) なランダムグラフ $ \mathcal{G}(n,p) $ において、任意の $ r $-彩色において、長さ $ (1/r - \alpha)n $ の単色パスが存在し、また単色成分のサイズが $ (1/(r-1) - \alpha)n $ であることを示している。パスのサイズ-ラマーリー数に対するより鋭い上界と下界が確立され、上界が $ 74n $ にまで低下し、下界が $ 5n/2 - O(1) $ であることが証明された。これらの結果は $ \alpha $ 項を除いて最適であり、既知の極値的結果をスパースなランダムグラフへと拡張している。

ABSTRACT

The size-Ramsey number $\hat{R}(F)$ of a graph $F$ is the smallest integer $m$ such that there exists a graph $G$ on $m$ edges with the property that any colouring of the edges of $G$ with two colours yields a monochromatic copy of $F$. In this paper, first we focus on the size-Ramsey number of a path $P_n$ on $n$ vertices. In particular, we show that $5n/2-15/2 \le \hat{R}(P_n) \le 74n$ for $n$ sufficiently large. (The upper bound uses expansion properties of random $d$-regular graphs.) This improves the previous lower bound, $\hat{R}(P_n) \ge (1+\sqrt{2})n-O(1)$, due to Bollobás, and the upper bound, $\hat{R}(P_n) \le 91n$, due to Letzter. Next we study long monochromatic paths in edge-coloured random graph $G(n,p)$ with $pn o \infty$. Let $α> 0$ be an arbitrarily small constant. Recently, Letzter showed that a.a.s.\ any $2$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(2/3-α)n$, which is optimal. Extending this result, we show that a.a.s.\ any $3$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/2-α)n$, which is also optimal. In general, we prove that for $r\ge 4$ a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/r-α)n$. We also consider a related problem and show that for any $r \ge 2$, a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic connected subgraph on $(1/(r-1)-α)n$ vertices, which is also tight.

研究の動機と目的

• 2色エッジ彩色におけるパスのサイズ-ラマーリー数 $ \hat{R}(P_n) $ の上界と下界を改善すること。
• 完全グラフにおける単色パスおよび成分に関する既知の結果を、$ pn \to \infty $ であるスパースなランダムグラフ $ \mathcal{G}(n,p) $ へと拡張すること。
• $ r $-エッジ彩色されたランダムグラフにおける最長単色パスおよび成分の最適長さを特定し、境界のタイトさを示すこと。

提案手法

• 極値的グラフ理論と成分サイズの議論を用いて、一般の下界 $ \hat{R}(P_n, r) $ を証明し、2色の場合に $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $ を得る。
• ランダム $ d $-正則グラフの拡張性を用いて、$ O(n) $ 時間のエッジを持つグラフを構築し、単色 $ P_n $ を強制する。これにより上界 $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $ が得られる。
• 2色の場合の Letzter の手法を3色以上へと拡張し、確率的および極値的議論を用いて、$ pn \to \infty $ のとき $ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{(1/r - \alpha)n})_r $ が a.a.s. 成り立つことを示す。
• 2部成分補題（補題 5.5）を適用して、スパースグラフにおける最大単色成分サイズを制限し、$ (1/(r-1) - \alpha)n $ が最適であることを示す。
• $ \mathcal{G}(n,p) $ と $ \mathcal{G}_{n,d} $ 間のカップリングを用いて、$ d \gg \log n $ の $ d $-正則モデルへと結果を拡張する。
• 既知の完全グラフに関する結果（例：$ K_n \to P_{(2/3+o(1))n} $）を、確率的および極値的技法を用いてランダムグラフへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2色エッジ彩色におけるランダムグラフのパスのサイズ-ラマーリー数 $ \hat{R}(P_n) $ の最良の上界は何か？
• RQ2 $ r $-彩色された $ \mathcal{G}(n,p) $ における最長単色パスの長さを $ (1/r - \alpha)n $ よりも改善できるか？また、この境界はタイトか？
• RQ3 $ \mathcal{G}(n,p) $ における最大単色成分のサイズは $ K_n $ におけるものと比べてどうか？境界 $ (1/(r-1) - \alpha)n $ は最適か？
• RQ4 $ \hat{R}(P_n, r) $ は $ r $ に関して指数的か多項式的か？その漸近的成長は何か？
• RQ5 $ \mathcal{G}(n,p) $ における結果を、$ d = \Omega(\log n) $ の $ d $-正則ランダムグラフモデル $ \mathcal{G}_{n,d} $ へと拡張できるか？

主な発見

• 十分大きな $ n $ に対して、パス $ P_n $ のサイズ-ラマーリー数は $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $ を満たす。これは以前の上界 $ 91n $ よりも改善されたものである。
• 新たな下界 $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $ が確立され、Bollobás の $ (1+\sqrt{2})n - O(1) $ よりも改善された。
• $ r \geq 2 $ に対して、a.a.s. 任意の $ r $-エッジ彩色における $ \mathcal{G}(n,p) $（$ pn \to \infty $）には長さ $ (1/r - \alpha)n $ の単色パスが存在し、これは最適である。
• $ r \geq 2 $ に対して、a.a.s. 任意の $ r $-エッジ彩色における $ \mathcal{G}(n,p) $ には $ (1/(r-1) - \alpha)n $ 頂点からなる単色連結部分グラフが存在し、これも最適である。
• $ d \gg \log n $ のとき、結果は $ d $-正則ランダムグラフモデル $ \mathcal{G}_{n,d} $ へと拡張可能である。これは $ \mathcal{G}(n,p) $ とのカップリングによる。
• $ r \geq 4 $ のとき、$ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{c_r n})_r $ を満たす最適定数 $ c_r $ の正確な値は未解明であるが、$ 1/r \leq c_r \leq 1/(r-1) $ であることが分かっている。