[論文レビュー] On some new congruences for binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun, Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、パンとソンによる先行研究を拡張し、素数のべきを法とするカタラン数および中央二項係数に関する新しい合同式を確立する。母関数と組合せ的恒等式を用いて、$sum_{k=0}^{p^a-1} binom{2k}{k+d}$ および $sum_{k=0}^{p^a-1} C_{p^a n + k}$ を $p^2$ を法として明示的な式で表し、ルジャンドル記号および特別な和 $S_d$ との関係を明らかにする。主な結果は、既知のウォルステンホルム型合同式をより高い素数のべきおよび合成数の法に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we establish some new congruences involving central binomial coefficients as well as Catalan numbers. Let $p$ be a prime and let $a$ be any positive integer. We determine $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$ for $d=0,...,p^a$ and $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$ for $δ=0,1$. We also show that $$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$ for every n=0,1,2,..., where $C_m$ is the Catalan number $\binom{2m}{m}/(m+1)$, and (-) is the Legendre symbol.

研究の動機と目的

• パンとソンが $a=1$ の場合に研究した既知のカタラン数の素数のべきを法とする合同式を、$a=1$ を超えて拡張すること。
• 中央二項係数の和 $sum_{k=0}^{p^a-1} binom{2k}{k+d}$ を $p^2$ および $p^3$ を法として明示的な式で導出し、ルジャンドル記号および新しい和 $S_d$ を含むこと。
• 合成数 $n \not\equiv 0 \pmod{3}$ に対して、合同式 $sum_{k=0}^{n-1} binom{2k}{k} \equiv \left(\frac{n}{3}\right) \pmod{n^2}$ が成り立つかどうかを検討すること。これは既知の素数レベルの結果の一般化としての可能性を秘めている。
• 古典的なウォルステンホルムの合同式を、シフトされたカタラン数 $C_{p^a n + k}$ を含む和に一般化し、$p^2$ を法として新しい恒等式を提供すること。
• 母関数技法と $p$-進解析を用いて、カタラン数の部分和およびその重み付き変種に関する以前の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 合同式の $p^2$ における算術的性質を捉えるために、補助的な和 $S_d = \sum_{0<k<d} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \left(\frac{d-k}{3}\right)$ を導入する。
• 恒等式 $F(d) = \frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} - \left(\frac{p^a - d}{3}\right)\right) + (-1)^p p^a S_d - p[p=3]\left(\frac{d}{3}\right)$ を用いて、二項係数の和をルジャンドル記号および $S_d$ と関連付ける。
• ルーカス型の恒等式と $p$-進付値の技法を適用し、特に $m \geq n$ のとき、$\binom{p^a m}{p^a n}$ を $p^2$ を法として分析する。
• 母関数の操作と組合せ的恒等式を用いて、$k$ に関する和を $d$ と $p^a - d$ の対称的表現に結びつけ、$F(d) \equiv F(p^a - d) \pmod{p^3}$ を証明する。
• 基本的な合同式として、$sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) - p[p=3]\left(\frac{d}{3}\right) + 2p^a S_d \pmod{p^2}$ を用いる。
• 二項係数の恒等式と $p$-進展開、ルジャンドル記号の性質を組み合わせることで、主な結果 (1.11) を導出し、$C_n^{-1}$ と $p^a S_d$ を含む一般化された和の公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合同式 $sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) \pmod{p^2}$ は、$p$ のより高いべきに拡張可能か。その場合、修正項は何か？
• RQ2 和 $sum_{k=0}^{p^a-1} C_{p^a n + k}$ を $p^2$ を法として正確に記述するとどうなるか。$C_n$ およびルジャンドル記号とどのように関係するか？
• RQ3 合成数 $n \not\equiv 0 \pmod{3}$ で、$sum_{k=0}^{n-1} \binom{2k}{k} \equiv \left(\frac{n}{3}\right) \pmod{n^2}$ が成り立つものがあるか。これは素数レベルの合同式の一般化としての可能性を秘めている。
• RQ4 和 $S_d = \sum_{0<k<d} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \left(\frac{d-k}{3}\right)$ は、$p^2$ を法とする二項係数の和の振る舞いをどのように制御するか？
• RQ5 恒等式 $sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) \pmod{p}$ は、明示的な修正項を加えることで $p^2$ を法として強化可能か？

主な発見

• すべての素数 $p$、正の整数 $a$、および $d \in \{0, \dots, p^a\}$ に対して、合同式 $sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) - p[p=3]\left(\frac{d}{3}\right) + 2p^a S_d \pmod{p^2}$ が成り立つ。これは以前の結果を一般化する。
• 和 $sum_{k=0}^{p^a-1} C_k \equiv 1 - 3\left(\frac{p^a - 1}{3}\right) \equiv \frac{3\left(\frac{p^a}{3}\right) - 1}{2} \pmod{p^2}$ が確立され、パンとソンの研究を $a$ がより大きい場合に拡張する。
• 恒等式 $sum_{k=0}^{p^a-1} kC_k \equiv \left(\frac{p^a - 1}{3}\right) - p[p=3] \equiv \frac{1 - \left(\frac{p^a}{3}\right)}{2} \pmod{p^2}$ が証明され、重み付き和の公式が得られる。
• $m \geq n$ のとき、一般化された和 $frac{n+1}{\binom{m}{n}} \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{p^a m + 2k}{p^a n + k + d}$ は、$S_d$、ルジャンドル記号、および修正項を含む $p^2$ を法とした合同式を満たす。
• 公式 $frac{1}{C_n} \sum_{k=0}^{p^a-1} C_{p^a n + k} \equiv 1 - 3(n+1)\left(\frac{p^a - 1}{3}\right) \pmod{p^2}$ が導出され、カタラン数の和をシフトされたインデックスに一般化する。
• 計算により、$n \leq 10^4$ かつ $n \not\equiv 0 \pmod{3}$ を満たす合成数 $n$ で、$sum_{k=0}^{n-1} \binom{2k}{k} \equiv \left(\frac{n}{3}\right) \pmod{n^2}$ が成り立つものは存在しないことが確認され、このような合同式は素数に特有である可能性が示唆される。