[論文レビュー] On some nonlinear partial differential equations involving the 1-Laplacian

Mouna Kraïem|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$W_0^{1,1}(\bar{\Omega})$ 内の逐次的最小化問題を通じて 1-ラプラシアン作用素の第一固有関数を近似するためのペナルティ法を提案する。ここで二次的ペナルティ項が $L^1$-ノルム制約を満たす。ペナルティパラメータ $n \to \infty$ のとき、最小化子は $BV(\Omega)$ 内で緊密に収束し、緩和された汎関数 $\int_\Omega |\nabla u| + \int_{\partial\Omega} |u|$ の非負最小化子に収束し、第一固有値 $\lambda_1$ を達成する。

ABSTRACT

In this paper we present an approximation result concerning the first eigenvalue of the 1-Laplacian operator. More precisely, for $Ω$ a bounded regular open domain, we consider a minimisation of the functional ${\ds \int_Ω}| abla u|+n({\ds \int_Ω} |u|-1)^2 $ over the space $W_0^{1,1}(Ω)$. For $n$ large enough, the infimum is achieved in some sense on $BV(Ω)$, and letting $n$ go to infinity this provides an approximation of the first eigenfunction for the first eigenvalue, since the term $n({\ds \int_Ω} |u|^2-1)^2$ "tends" to the constraint $\|u\|_1=1$.

研究の動機と目的

• 1-ラプラシアン作用素の第一固有値および固有関数に対する新しい変分的近似法を提供すること。
• $W^{1,1}(\Omega)$ の弱収縮性の欠如を補うために、$W_0^{1,1}(\Omega)$ 内で $L^1$-ノルムに制約を課したペナルティ関数を用いること。
• $BV(\Omega)$ 空間における極限過程を通じて、1-ラプラシアンに対する正の固有関数の存在および一意性を確立すること。
• 境界積分 $\int_{\partial\Omega} |u|$ を含む緩和された定式化の正当性を示すために、ペナルティ付き最小化子が緩和された汎関数の最小化子に収束することを示すこと。

提案手法

• $\|u\|_{L^1} = 1$ の下で $\int_\Omega |\nabla u|$ の制約付き最小化を近似するため、$W_0^{1,1}(\Omega)$ 上で $\int_\Omega |\nabla u| + n\left(\int_\Omega |u| - 1\right)^2$ のペナルティ関数を導入すること。
• $BV(\Omega)$ 内の列の弱収束および緊密収束の性質を用いて、$n \to \infty$ のときペナルティ問題の最小化子から極限 $u$ を抽出すること。
• 全変動およびトレース写像の下界下半連続性を適用し、極限に移行して、$\|u\|_{L^1} = 1$ の下で $\int_\Omega |\nabla u| + \int_{\partial\Omega} |u|$ を最小化する $u$ が最小化子であることを示すこと。
• 全変動および $L^1$-ノルムの収束を証明することで、$BV(\Omega)$ 内で列 $u_n$ が $u$ に緊密に収束することを確立すること。
• $\mathrm{sign}^+(u_n)$ の収束および関係式 $-2n(\int_\Omega u_n - 1) \to \lambda_1$ を用いて、ペナルティ項の漸近的挙動を導出すること。
• $BV(\Omega)$ の $L^1(\Omega)$ へのコンパクト埋め込みおよび測度の狭義位相を用いて、緩和された定式化における極限の正当性を裏付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-ラプラシアンの第一固有関数は、$W_0^{1,1}(\Omega)$ 内のペナルティ付き最小化問題によって近似可能か？
• RQ2 ペナルティ関数 $\int_\Omega |\nabla u| + n(\int_\Omega |u| - 1)^2$ の最小化子は、$BV(\Omega)$ 内で緩和された固有値問題の最小化子に収束するか？
• RQ3 ペナルティ付き問題に関連する固有値 $\lambda_{1,n}$ は $n \to \infty$ のときどのように漸近的挙動を示すか？
• RQ4 ペナルティ法は、境界積分 $\int_{\partial\Omega} |u|$ を含む古典的緩和定式化とどのように関係するか？
• RQ5 ペナルティ法による極限固有関数は一意的かつ非負か？

主な発見

• 十分大きな $n$ に対して、ペナルティ関数 $\int_\Omega |\nabla u| + n\left(\int_\Omega |u| - 1\right)^2$ は $BV(\Omega)$ 内で下界を達成し、固有値問題の正則化された近似を提供する。
• $n \to \infty$ のとき、ペナルティ問題の最小化子 $u_n$ は $BV(\Omega)$ 内で非負関数 $u$ に緊密に収束し、$\|u\|_{L^1} = 1$ の下で $\int_\Omega |\nabla u| + \int_{\partial\Omega} |u|$ を最小化する。
• ペナルティ付き問題の固有値 $\lambda_{1,n}$ は $n \to \infty$ のとき $\lambda_1$、すなわち 1-ラプラシアンの第一固有値に収束する。
• 極限関数 $u$ は $\int_\Omega |\nabla u| + \int_{\partial\Omega} |u| = \lambda_1$ を満たし、緩和された定式化がペナルティ問題の正しい極限であることを確認する。
• $-2n(\int_\Omega u_n - 1) \to \lambda_1$ の収束により、ペナルティパラメータと極限における固有値との間の定量的関係が得られる。
• 本手法により、$BV(\Omega)$ 内の近似およびコンパクト性を用いた正の固有関数の存在および一意性の新たな証明が可能になる。