[論文レビュー] On some open problems in Diophantine approximation

Nikolay Moshchevitin|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 101被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、ディオファントス近似における主要な未解決問題を概説し、特にリトルウッド予想と、実数の有理数による同時近似に関連する問題に焦点を当てる。ディオファントス近似、代数的数体、数体の幾何学との間の関係を確立し、特定の代数的数において予想が成り立つことを証明するとともに、連分数の部分商の増大度とミンコフスキーの問いの関数の微分可能性との関連を示した。

ABSTRACT

We discuss several open problems in Diophantine approximation. Among them there are famous Littlewood's and Zaremba's conjectures as well as some new and not so famous problems.

研究の動機と目的

• ディオファントス近似における長年の未解決問題、特にリトルウッド予想とザレンバ予想の認識を高めること。
• ディオファントス近似、代数的数体、および格子の幾何学との関係を調査すること。
• 連分数の部分商に関連して、ミンコフスキーの問いの関数およびその一般化の微分可能性の性質を調査すること。
• 正の同次最小値を持つ格子の構造とオッペンハイマー予想との関連を検討すること。
• 連分数展開における部分商の和の漸近的挙動と、特異関数に与える影響を研究すること。

提案手法

• 同時近似誤差のバウンディングに、ディリクレの近似定理を基礎的ツールとして用いる。
• 特にR^nにおける格子の同次最小値の研究を含む、数体の幾何学の結果を適用する。
• 全実体を持つ代数的数体における代数的数の同時近似に関する定量的バウンディングを確立するために、ペックの定理を用いる。
• デニョイ・ティチー・ウイッツ族の特異関数を用いて、ミンコフスキーの問いの関数およびその一般化を分析する。
• 部分商の和S_x(t)を用いて特異関数の微分可能性を特徴付け、その導関数のバウンディングを導出する。
• エルゴディック理論および測度論的数論（ガラガーの定理を含む）を用いて、近似不等式のほとんど everywhere における挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リトルウッド予想はすべての実数の対について成り立つのか。代数的数についてはその状態はいかなるものか。
• RQ2 次元n=2におけるオッペンハイマー予想は証明可能か。リトルウッド予想とはどのように関連しているか。
• RQ3 連分数の部分商の増大度とミンコフスキーの問いの関数の微分可能性との間の正確な関係は何か。
• RQ4 λのどの値に対して、デニョイ・ティチー・ウイッツ関数g_λ(x)が自然な連分数列の極限分布関数として現れるか。
• RQ5 S_x(t)/t のlimsupおよびliminfの最良バウンディングは、g_λ(x) の導関数とどのように関連しているか。

主な発見

• リトルウッド予想は、1と併せて実立方体体の基底をなすすべての対(θ₁, θ₂)について成り立つ。
• すべての共役が実数である次数n+1の実代数的数体に対しては、||qθ_j|| ≤ C/q^{1/n} および ||qθ_j|| ≤ C/(q^{1/n} (log q)^{1/(n-1)}) を満たす無限に多くのqが存在し、これによりこのような数についても予想が成り立つ。
• リトルウッド予想に反する対(θ₁, θ₂)の集合は、ハイゼンベルク次元が0であることが、インゼイドル、カトク、リンデンストラウスによって示された。
• 任意のλ ∈ [κ₁, κ₂]に対して、[0,1]に属する無理数x, y, zが存在し、S_x(t)/t → λ かつ ?′(x) = 0、?′(y) = +∞ だが、?′(z) は存在しない。
• 定数κ₁およびκ₂は、それぞれκ₁ = sup{κ : limsup S_t(x)/t < κ ⇒ ?′(x) = +∞} および κ₂ = inf{κ : liminf S_t(x)/t > κ ⇒ ?′(x) = 0} を満たす。
• λ = (3−√5)/2 のとき、関数g_λ(x)は半正則連分数列の極限分布関数である。また、κ₁(λ)およびκ₂(λ)はガフゼリンによって計算済みである。