[論文レビュー] On some orthogonal functions generalizing Jack polynomials

Stephen Griffeth|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有理チェレドニク代数の可換部分代数 𝒯𝒯 を用いて、複素反射群 G(r,1,n) の既約表現に値をとる ℂⁿ 上の直交関数を構成することにより、非対称ジャック多項式を一般化する。ノルムの公式を確立し、標準表と 𝒯𝒯 の固有値を用いた部分加群格子の組合せ的記述を提供する。

ABSTRACT

The rational Cherednik algebra $\HH$ is a certain algebra of differential-reflection operators attached to a complex reflection group $W$. Each irreducible representation $S^\lambda$ of $W$ corresponds to a standard module $M(\lambda)$ for $\HH$. This paper deals with the infinite family $G(r,1,n)$ of complex reflection groups; our goal is to study the standard modules using a commutative subalgebra $ tt$ of $\HH$ discovered by Dunkl and Opdam. In this case, the irreducible $W$-modules are indexed by certain sequences $\lambda$ of partitions. We first show that $ tt$ acts in an upper triangular fashion on each standard module $M(\lambda)$, with eigenvalues determined by the combinatorics of the set of standard tableaux on $\lambda$. As a consequence, we construct a basis for $M(\lambda)$ consisting of orthogonal functions on $\CC^n$ with values in the representation $S^\lambda$. For $G(1,1,n)$ with $\lambda=(n)$ these functions are the non-symmetric Jack polynomials. We use intertwining operators to deduce a norm formula for our orthogonal functions and give an explicit combinatorial description of the lattice of submodules of $M(\lambda)$ in the case in which the orthogonal functions are all well-defined.

研究の動機と目的

• 非対称ジャック多項式の理論を、複素反射群の無限族 G(r,1,n) に拡張すること。
• 有理チェレドニク代数 H の標準的モジュール M(λ) における可換部分代数 𝒯𝒯 の作用を分析すること。
• 𝒯𝒯 の固有値を用いて、S^λ に値をとる ℂⁿ 上の関数の直交基底を構成すること。
• 相互作用作用素を用いて、直交関数のノルムの公式を導出すること。
• 直交関数が適切に定義される場合、M(λ) の部分加群格子の組合せ的記述を提供すること。

提案手法

• 複素反射群 G(r,1,n) に関連する有理チェレドニク代数 H を用いる。
• ダンクルとオプダムによって以前に発見された可換部分代数 𝒯𝒯 を用いて、標準的モジュール M(λ) の構造を分析する。
• 𝒯𝒯 が M(λ) 上で上三角的に行われるようであり、その固有値は multipartition λ 上の標準表によって決定されることを示す。
• 𝒯𝒯 の固有値の組合せ論的性質を用いて、S^λ に値をとる ℂⁿ 上の関数の直交基底を構成する。
• 相互作用作用素を用いて、直交関数のノルムの公式を導出する。
• 標準表の固有値構造と組合せ論を用いて、直交関数が適切に定義される場合の M(λ) の部分加群格子を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理チェレドニク代数の可換部分代数 𝒯𝒯 は、G(r,1,n) の標準的モジュール M(λ) にどのように作用するか？
• RQ2 𝒯𝒯 の固有値から、S^λ に値をとる ℂⁿ 上の関数の直交基底を構成できるか？
• RQ3 この構成から得られる直交関数のノルムの公式は何か？
• RQ4 標準表と固有値を用いて、M(λ) の部分加群格子をどのように組合せ的に記述できるか？
• RQ5 これらの関数は、λ = (n) のとき G(1,1,n) における非対称ジャック多項式をどのように一般化するか？

主な発見

• 可換部分代数 𝒯𝒯 は、各標準的モジュール M(λ) 上で上三角的に行われ、その固有値は multipartition λ 上の標準表によって決定される。
• S^λ に値をとる ℂⁿ 上の関数の直交基底が構成され、W = G(1,1,n) かつ λ = (n) の場合に非対称ジャック多項式が一般化される。
• 相互作用作用素を用いて直交関数のノルムの公式が導出され、それらの大きさを定量的に測る手段が得られる。
• 直交関数が適切に定義される場合、M(λ) の部分加群格子は固有値と標準表を用いて組合せ的に記述される。
• この構成により、G(r,1,n) の表現論と multipartition および標準表の組合せ論との間の明確な関係が明らかになる。
• M(λ) 上での 𝒯𝒯 の固有値は、λ 上の標準表のコンテンツと形状によって完全に特徴づけられ、直交基底の明示的計算が可能になる。