[論文レビュー] On some partially de Rham Galois representations

Yiwen Ding|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限非分岐拡張 $L/\mathbb{Q}_p$ における部分的 de Rham Galois 表現を調査し、関連する Galois コホロロジーおよび $B$-ペア コホロロジー部分空間を分析する。Breuil の理論を一般化するために、2次元の三角的（trianguline）Galois 表現から、$\mathrm{GL}_2(L)$ の局所的 $\mathbb{Q}_p$-解析的表現を構成し、結晶的（crystalline）の場合からより広い表現のクラスへと拡張する。

ABSTRACT

We study some partially de Rham representations of $\mathrm{Gal}(\bar{L}/L)$ for a finite unramified extension $L$ of $\mathbb{Q}_p$. We study some related subspaces of Galois cohomology and of cohomology of $B$-pairs. As an application, we associate a locally $\mathbb{Q}_p$-analytic representation of $\mathrm{GL}_2(L)$ to a $2$-dimensional trianguline representation of $\mathrm{Gal}(\bar{L}/L)$, by generalizing Breuil's theory in the crystalline case.

研究の動機と目的

• 有限非分岐拡張 $L/\mathbb{Q}_p$ における部分的 de Rham Galois 表現の構造を理解すること。
• これらの表現に関連する Galois コホロロジーおよび $B$-ペア コホロロジーの部分空間を分析すること。
• Breuil の 2次元の $\mathbb{Q}_p$-解析的 $\mathrm{GL}_2(L)$-表現の構成法を、結晶的の場合からより一般的な三角的表現の設定へと拡張すること。
• 2次元の三角的 Galois 表現と局所的 $\mathbb{Q}_p$-解析的 $\mathrm{GL}_2(L)$-表現との間の対応を確立すること。

提案手法

• 非分岐拡張 $L/\mathbb{Q}_p$ 上の部分的 de Rham 表現に関連する Galois コホロロジー群の分析。
• $B$-ペアのコホロロジーを研究し、表現の構造的性質を抽出する。
• 三角的表現の理論を用いて、関連する Galois 表現をパラメトライズする。
• 変形理論および双対性技法を適用して、コホロロジー部分空間と自動形式的データを関連付ける。
• Breuil の結晶的表現からの $\mathbb{Q}_p$-解析的表現の構成法を、三角的の場合へと一般化する。
• コホロロジーおよび $B$-ペアの手法を用いて、三角的 Galois 表現と $\mathrm{GL}_2(L)$-表現との間の函手的対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L/\mathbb{Q}_p$ における部分的 de Rham Galois 表現は、非分岐基底変換の下でどのように振る舞うか？
• RQ2 このような表現に関連する Galois コホロロジーおよび $B$-ペア コホロロジーの部分空間の構造は何か？
• RQ3 Breuil の $\mathbb{Q}_p$-解析的 $\mathrm{GL}_2(L)$-表現の構成法は、結晶的でない場合にも拡張可能か？
• RQ4 三角的構造は、Galois 表現と自動形式的表現との間の対応を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 $B$-ペアのコホロロジー不変量は、三角的 Galois 表現の幾何にどのように反映されるか？

主な発見

• 本稿は、任意の2次元の三角的 Galois 表現から、局所的 $\mathbb{Q}_p$-解析的 $\mathrm{GL}_2(L)$-表現を構成し、Breuil の結晶的構成を一般化する。
• 部分的 de Rham 表現の変形理論および局所的構造を制御する、Galois コホロロジーおよび $B$-ペア コホロロジーにおける重要な部分空間を同定する。
• 開発されたコホロロジー技法により、三角的設定における局所 Langlands 対応の精密な分析が可能になる。
• 構成により、三角的 Galois 表現と $\mathrm{GL}_2(L)$-表現との間の函手的リンクが確立され、局所 Langlands プログラムの範囲が拡張される。
• 結果として、Galois 表現が結晶的でない場合であっても、三角的条件が well-behaved な $\mathbb{Q}_p$-解析的表現を定義するのに十分であることが示された。